第十篇：二次型

二次型的矩阵表示

非退化线性替换

线性替换的矩阵表示

矩阵的合同

矩阵等价

定义：对同型矩阵A、B，存在可逆阵P和Q，使得B=PAQ；B=PAQ
充要条件：A和B的秩相等
矩阵合同

定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P使得B=PTAP；B=PTAP
矩阵相似

比等价严苛
定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P，使得B=P−1AP；B=P−1AP
三者关系：

等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。（正惯性指数：属于数学学科，简称正惯数，是线性代数里矩阵的正的特征值个数，也即是规范型里的系数"1"的个数。实二次型的标准形中，系数为正的平方项的个数为二次型的正惯性指数。）

二次型的标准形

配方法（化标准形），技巧性大

合同的变换法（化标准形第二种方法，易操作）

from sympy import pprint,Symbol,linsolve,solve,symarray,Eq,Expr,roots,simplify
from sympy.matrices import Matrix,zeros,diag,eye,GramSchmidt
from sympy.abc import lamda
import numpy as np
A = np.array([[1,2,2,1],[2,2,1,1],[2,1,0,1],[1,1,1,1]])
# A=np.array([[5,-4,-2],[-4,5,2],[-2,2,2]])
# A = np.array([[0,1,1],[1,0,-3],[1,-3,0]])

eig_val,eig_vet=np.linalg.eig(A)
X = np.random.randint(0,10,(A.shape[1]))
print(X)
Y = np.dot(np.linalg.inv(eig_vet),X) # 令 X = eig_vet*Y，所以 Y = eig_vet.I * X
# Y = np.linalg.solve(eig_vet,X)

def f_to_norm(A):
    B = Matrix(A)
    x = Matrix(symarray('x',A.shape[1]+1))
    x.row_del(0)
    print('原二次型：')
    f = simplify((x.T*B*x)[0,0])
    pprint(f)
    y = Matrix(symarray('y',A.shape[1]+1))
    y.row_del(0)
    D = diag(*eig_val)
    print('二次标准型：')
    f_norm = simplify((y.T*D*y)[0,0])
    pprint(f_norm)

    print('\n'+'*'*18+'使用sympy代值验证'+'*'*18)
    print('使用原二次型的结果：')
    print(f.subs({key:val for key,val in zip(x,X)}))
    print('使用二次型标准的结果：')
    print(f_norm.subs({key:val for key,val in zip(y,Y)}))

f_to_norm(A)
print('\n'+'*'*18+'使用numpy验证'+'*'*18)
print('X.T * A * X 的结果：{}'.format(np.dot(X.T,np.dot(A,X))))
eig_val = np.diag(eig_val) #特征值组成对角矩阵
print('eve.I * A * eve等于eva：{}'.format(np.allclose(np.dot(np.linalg.inv(eig_vet),np.dot(A,eig_vet)),eig_val)))
print('eve * eva * eve.I等于A：{}'.format(np.allclose(np.dot(eig_vet,np.dot(eig_val,np.linalg.inv(eig_vet))),A)))
print('二次标准型的结果：{}'.format(np.dot(Y.T,np.dot(eig_val,Y))))

'''验证练习题用合同变换法的结果'''
# C = np.array([[1,-2,2,-1],[0,1,-3,1],[0,0,2,-1],[0,0,0,1]])
# y = np.dot(np.linalg.inv(C),X)
# d = np.diag([1,-2,2,0])
# print(np.dot(y.T,np.dot(d,y)))