数论基础

数论基础

基本概念：

模：\(a\bmod p\) 即 \(a\div p\) 的余数

整除：\(a\mid b\) 即 \(b\bmod a=0\) ，同时称 \(a\) 是 \(b\) 的因数（约数）

质数：有且只有两个约数的数（ \(1\) 不是质数，因为它只有一个约数）

质因数分解：将一个正整数 \(n\) 分解为 \(n=\prod_{i=1} p_i^{k_i}\;(p_i为质数,k_i\in\mathbb{N^*})\) 的形式叫做质因数分解

同余：\(a\equiv b \pmod p\) 即 \(a\bmod p=b\bmod p\)

最大公约数：\(\gcd(a,b)\) ，顾名思义即 \(a\) 和 \(b\) 的公有的约数中最大的一个，无歧义时可记作 \((a,b)\)

互质：\(a\) 与 \(b\) 互质即 \(\gcd(a,b)=1\)，记作 \(a\perp b\)

快速幂

目的：快速求出

\[a^b\bmod p \]

考虑将 \(b\) 按二进制位分解：

\[b=\sum_{i\ge 0} k_i 2^i \]

其中 \(i\) 是非负整数， \(k_i\in \left \{ 0,1 \right \}\) ，是 \(b\) 每一二进制位上的值。

根据幂运算的性质 \(x^m x^n=x^{m+n}\) 则

\[a^b=\prod_{i\ge 0} a^{k_i2^i} \]

因此我们只需要求出 \(a^{2^0},a^{2^1},a^{2^2}\dots\) ，就能在 \(O(\log b)\) 的复杂度内求出 \(a^b\bmod p\) 。

code:

typedef long long ll;
ll fast_pow(ll a,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

最大公约数

显然的性质：

• \(\gcd(a,0)=a\)
• \(\gcd(a,b)=\gcd(a-b,b)\)

由第二条性质可以推得：

\[\gcd(a,b)=\gcd(a-kb,b) \]

其中 \(k\) 为整数，也就是

\[\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b) \]

我们只需要一直模到 \(b=0\) ，此时 \(\gcd(a,b)\) 就是 \(a\) 。

这就是著名的欧几里得算法（辗转相除法），复杂度 \(O(\log\max(a,b))\) 。

code:

int gcd(int a,int b){
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法

形如 \(ax\equiv c\pmod b\) 的同余方程叫做线性同余方程。显然，此方程与不定方程 \(ax+by=c\) 同解。

其中显然，当且仅当 \(\gcd(a,b)\mid c\) 时，方程有整数解。

扩展欧几里得算法就是求出 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组整数解。

如果我们还知道一组 \(x',y'\)，能使

\[ax+by=bx'+(a\bmod b)y'=\gcd(a,b) \]

由于 \(a\bmod b=a-b\times\left\lfloor\frac ab\right\rfloor\)：

\[ax+by=bx'+\left(a-b\times\left\lfloor\frac ab\right\rfloor\right)y' \]

\[ax+by=bx'+ay'-b\times\left\lfloor\frac ab\right\rfloor\times y' \]

\[ax+by=ay'-b\times\left(x'-\left\lfloor\frac ab\right\rfloor\times y'\right) \]

因此当

\[x=y',y=x'-\left\lfloor\frac ab\right\rfloor\times y' \]

时，方程一定有解。

那么这个过程就变成了一个递归的过程，每次递归下去都会由 \(a,b\) 变成 \(b,a\bmod b\)，容易发现，这和欧几里得算法的过程是一样的，最后一定会有 \(a=\gcd(a,b),b=0\) 的时刻，这就是递归出口。

方程 \(\gcd(a,b)x+0\times y=\gcd(a,b)\) 的整数解一定是 \(x=1,y\in\mathbb{Z}\) ，建议 \(y\) 取 \(0\)。

code：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
}

最后对答案做一些处理，令 \(x=(x\bmod b+b)\bmod b\)，就一定能得到最小整数解。

注意：利用扩展欧几里得求解时，参数不能为无符号，因为可能存在负数！

质数筛

埃氏筛

如果一个数是质数，它的所有不是自己的倍数都不是质数，因此将这些数标记不是质数。

而如果一个数不是任何小于它且不是 \(1\) 的数的倍数，这个数一定是质数。

code：

bool not_prime[N];//标记数组
void init(){
    not_prime[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(not_prime[i])continue;
        for(int j=2;i*j<=n;j++)
            not_prime[i*j]=1;//标记质数的所有倍数
    }
}

时间复杂度 \(O(n\log\log n)\) （我不会证明）。虽然 \(\log\log n\) 很小，但是在数据极大的时候还是可以被卡掉（洛谷线性筛模板）。

欧拉筛（线性筛）

埃氏筛的复杂度里带一个 \(\log\log\) ，就是因为对于同一个合数，可能会被标记多次。

欧拉筛可以避免这个问题，其目标是令每个合数只被其最小质因子标记一次。

code：

bool not_prime[N];//标记数组
int prime[N];//记录已经筛出来的质数
void init(){
    not_prime[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!not_prime[i])prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot;j++){//遍历已经筛出来的质数
            if(i*prime[j]>n)break;
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;//精髓
        }
    }
}

由于我太菜不会讲，正确性及原理详情出门左转洛谷线性筛模板题解区。

复杂度 \(O(n)\) 。

此外，可以通过线性筛预处理每个数的最小质因数，进行高效的质因数分解。

费马小定理

\[p为质数时，a^p\equiv a\pmod p \]

欧拉函数

欧拉函数定义为小于等于 \(n\) 的所有整数中与 \(n\) 互质的个数，记作 \(\varphi(n)\)。\(\forall n\in\mathbb N^*\)，有：

\[\varphi(n)=n\prod_{p|n,p为质数}\left(1-\frac 1p\right) \]

特别地，\(\varphi(1)=1\)。

对于这个式子，可以用容斥原理证明。
证明过程中最后那个因式分解可以用数学归纳法验证。

有了这个式子，则性质显然：

1. 若 \(n\) 为质数，则 \(\varphi(n)=n-1\)
2. 若 \(m\perp n\)，\(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)
3. 若 \(m|n\)，\(\varphi(mn)=m\varphi(n)\)

因此，每个数的欧拉函数值可以用线性筛求出来：

bool not_prime[N];
int prime[N],phi[N];
void init(){
    vis[1]=1;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[tot++]=i;
            phi[i]=i-1;
            vis[i]=1;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++){
            if(i*prime[j]>n)break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

欧拉定理

\[若a\perp p\,，a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p \]

证明：

对于整数 \(p\)，令 \(S=\{x\in\mathbb N^*\mid a\perp p\}\)，则显然 \(|S|=\varphi(n)\)。

对于一个整数 \(a\)，使 \(a\perp p\)，我们证明以下两命题：

1. \(\forall x\in S,ax\perp p\)
2. \(\forall x_i\in S,x_j\in S,且x_i\neq x_j,有ax_i\not\equiv ax_j\pmod p\)

第一条显然。\(a,x\) 均和 \(p\) 没有相同因数，相乘后也一定没有相同因数。

对于第二条可利用反证法：若 \(ax_i\equiv ax_j\pmod p\)，则 \(x_i\equiv x_j\pmod p\)，与定义矛盾。因此 \(ax_i\not\equiv ax_j\pmod p\)。

二者结合可知：如果令 \(S'=\{y\in\mathbb N^*\mid y=ax\bmod p,x\in S\}\)，则一定有 \(S=S'\)。

因此：

\[\prod_{y\in S'}y\equiv \prod_{x\in S}x\pmod p \]

即：

\[\prod_{x\in S}ax\equiv \prod_{x\in S}x\pmod p \]

提取 \(a\)：

\[a^{|S|}\prod_{x\in S}x\equiv \prod_{x\in S}x\pmod p \]

约简可得：

\[a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p \]

容易看出费马小定理就是欧拉定理在 \(p\) 为质数时的一种特殊情况。