CF1798C

题面

形式化题意：

给出长为 \(n\) 的两个序列 \(\{a\}\) 和 \(\{b\}\)，定义序列 \(\{c\}\) 满足：\(c_i=d_ib_i\)，其中 \(d_i\mid a_i\)。求 \(\{c\}\) 最少能被分成多少个连续段，使得每个连续段内的值相同。

首先对于一个 \(i\)，如果 \(c_i\) 能和 \(c_{i-1}\) 分到同一个段里，那么一定优于它单独成段或者和 \(c_{i+1}\) 分到同一段里。因为在一个段里加一个数只会让这个段的限制更紧。

基于这个贪心有了一个思路：对于一个左端点 \(l\)，找到它能形成的最长合法连续段的右端点 \(r\)，然后令 \(ans\leftarrow ans+1,l\leftarrow r+1\) 继续直到 \(l>n\)。

现在问题来到对于一个 \(l\)，如何快速求 \(r\)。

不妨对 \(\{c\}\) 的构造方式做一下转化：\(c_i=\dfrac{a_ib_i}{e_i}\)，其中 \(e_i\mid a_i\)。由此可以发现，如果一个区间 \([l,r]\) 合法，则这个区间的 \(c\) 值一定是 \(\gcd\limits_{i=l}^ra_ib_i\) 的约数，并且显然取最大公约数是最优的，由此可以求出每个 \(i\) 对应的 \(e\)。同时不难发现 \(r\) 的出现满足可二分性，因此只要 ST 表求区间 \(\gcd\)，二分答案即可。

赛时 AC 记录。

时间复杂度分析：ST 表初始化是 \(O(n\log^2 n)\)。设 \(len=r-l+1\)，由于 check 在检测到不合法后立即返回，所以 check 一次的复杂度是 \(O(len)\)，二分一次就是 \(O(len\log n)\)，又因为 \(\sum len=n\)，所以二分答案总时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。程序总复杂度为 \(O(n\log^2 n)\)。常数好像挺小的。