短文：从导数的角度看欧拉公式的几何意义

本文不是一篇零基础入门教程，如果你对虚数\(i\)，复平面，复数运算的几何意义一无所知的话，以下两篇文章或许能给你一些启发。
虚数的意义
欧拉公式之美

切入正题，我们先来考虑实数范围内以\(e\)为底的指数函数的导数，其形式如下：
\( \frac{\text{d}e^t}{\text{d}t}=e^t \)

我们可以将其理解为数轴上一条线段每时每刻都以其自身长度为加速度进行拉伸。

众所周知，\(e^{at}\)的导数（\(a\)为实常数）可由下式计算：
\( \frac{\text{d}e^{at}}{\text{d}t}=ae^{at} \)

由此，我们可以将结论推广到复数领域，即
\( \frac{\text{d}e^{it}}{\text{d}t}=ie^{it} \)

由上式可知，\(e^{it}\)在复平面上的变化方向每时每刻都与自身垂直，也就是说\(e^{it}\)在任意时刻的变化只有旋转，而没有拉伸。

由于\(e^{it}\)在复平面上运动的初始点为\(e^0=1\)，根据以上结论可知，\(e^{it}\)在复平面上的运动轨迹即是一个以(0, 0)为圆心的单位圆。

接着，我们考虑\(e^{it}\)的运动速率。 在单位圆上，\(e^{it}\)运动的线速度为其导数的模：
\( |ie^{it}|=|i||e^{it}|=1 \)

而在单位圆上圆弧长度和对应的圆心角弧度是相等的，即\(1×t=\theta\)，所以这个单位圆上的一个点可以表示为\(e^{it}=e^{i\theta}\)。而该点又可表示为\(cos\theta+isin\theta\)，这两种表示方式是等价的，即
\( e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta \)

这就是著名的欧拉公式。