直线与圆相切

答案：E（\(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\)）

相切 ⟺ 圆心到直线的距离 = 半径

直线：\(y-ax=0\)，写成 \(ax-y=0\)。 圆：\((x-a)^2+y^2=1\)，圆心 \((a,0)\)，半径 \(r=1\)。

圆心 \((a,0)\) 到直线 \(ax-y=0\) 的距离：

\[d=\frac{|a\cdot a-0|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}} \]

相切时 \(d=r=1\)：

\[\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}=1 ;\Longrightarrow; a^2=\sqrt{a^2+1} \]

令 \(t=a^2\) 解方程

\[t=\sqrt{t+1};\xrightarrow{\text{平方}}; t^2=t+1 ;\Longrightarrow; t^2-t-1=0 \]

\[t=\frac{1\pm\sqrt5}{2} \]

因为 \(t=a^2\ge0\)，取正根：

\[a^2=\frac{1+\sqrt5}{2} \]

所以选 E。

提醒：

点到直线距离公式里，分母是 \(\sqrt{a^2+1}\)（系数是 \(a\) 和 \(-1\)），别漏掉那个 \(1\)。
平方后要舍去负根 \(\dfrac{1-\sqrt5}{2}<0\)，因为 \(a^2\) 不能为负。

补充完整的来龙去脉，把这道题背后的直线与圆相切彻底讲透。

一、几何背景：直线与圆的三种位置关系

判断直线与圆的关系，只看圆心到直线的距离 \(d\) 和半径 \(r\) 谁大谁小：

位置关系 判定 交点个数
相离 \(d>r\) 0
相切 \(d=r\) 1
相交 \(d<r\) 2

所以"相切"翻译成代数语言就是一句话：

\[\boxed{d=r} \]

二、点到直线的距离公式

点 \((x_0,y_0)\) 到直线 \(Ax+By+C=0\) 的距离：

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

用法要点：直线必须先写成 \(Ax+By+C=0\) 的标准形式，\(A,B\) 是 \(x,y\) 的系数，分母是系数平方和开根号。

三、套用到本题
直线 \(y-ax=0\) 整理成标准形式 \(\underbrace{a}{A}x+\underbrace{(-1)}{B}y+\underbrace{0}_{C}=0\)
圆 \((x-a)^2+y^2=1\)：圆心 \(C=(a,0)\)，半径 \(r=1\)

圆心 \((a,0)\) 到直线的距离：

\[d=\frac{|a\cdot a+(-1)\cdot 0+0|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}} \]

相切条件 \(d=r=1\)：

\[\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}=1 \]

这张图就是此刻的几何情形——注意那条从圆心垂直落到直线的距离恰好等于半径：

四、解方程（关键一步：换元）

\[\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}=1 ;\Longrightarrow; a^2=\sqrt{a^2+1} \]

令 \(t=a^2\)（注意 \(t\ge 0\)），两边平方：

\[t=\sqrt{t+1};\xrightarrow{\text{平方}};t^2=t+1;\Longrightarrow;t^2-t-1=0 \]

用求根公式：

\[t=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt5}{2} \]

五、验根：为什么舍去一个

平方可能产生增根，必须回头检验。原方程 \(t=\sqrt{t+1}\) 要求左边 \(t\ge 0\)（右边是算术根，非负）。

\(t=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618>0\) ✓ 保留
\(t=\dfrac{1-\sqrt5}{2}\approx-0.618<0\) ✗ 舍去（既不满足 \(t\ge0\)，也因为 \(t=a^2\) 不能为负）

所以

\[a^2=\frac{1+\sqrt5}{2} \]

六、数值验证

\(a^2\approx1.618\)，代回距离公式：

\[d=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{1.618}{\sqrt{2.618}}=\frac{1.618}{1.618}=1=r \checkmark \]

（这里正好用到 \(\sqrt{2.618}=\sqrt{1.618+1}\)，而 \(1.618^2=2.618\)，所以分子分母相等，\(d=1\)，确实相切。）

七、小结：这类"直线与圆相切"题的固定套路
写标准式：圆 → 找圆心、半径；直线 → 化成 \(Ax+By+C=0\)。
列距离方程：相切 ⟺ \(d=r\)，用点到直线距离公式。
解方程：含根号就平方，含 \(a^2\) 就整体换元 \(t=a^2\)。
验根舍负：平方后检验，去掉不合理的根（本题 \(a^2\ge0\)）。

\[a^2=\frac{1+\sqrt5}{2}\quad\Rightarrow\quad \textbf{选 E} \]

这个值 \(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\) 就是著名的黄金比例 \(\varphi\approx1.618\)——它满足 \(\varphi^2=\varphi+1\)，正好对应我们解的方程 \(t^2=t+1\)，是个很漂亮的巧合。