韦达定理

下面把**韦达定理（根与系数关系）**系统讲一遍，从二次到一般情形，再到考试里最常用的变形。

一、二次方程的韦达定理

对一元二次方程（$a\neq0$）

$$ax^2+bx+c=0$$

设两根为 $x_1,x_2$，则

$$\boxed{,x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a},}$$

两根之和 = 一次项系数÷二次项系数、再取负；两根之积 = 常数项÷二次项系数。

当二次项系数为 1（首一方程 $x^2+px+q=0$）时更简洁：

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q$$

推导

由求根公式 $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$：

$$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac ba$$

$$x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt\Delta)^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac ca$$

也可从因式分解看：$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，展开对比系数即得。

⚠️ 使用前提：要有实根就需 $\Delta=b^2-4ac\ge0$；但即使根是复数，和与积的公式依然成立（复根成对出现）。第9题正是"已知有两实根"，直接套用。

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二、最常用的对称式变形

考试几乎不会直接问和/积，而是问由 $x_1,x_2$ 组成的对称式。记住 $S=x_1+x_2$、$P=x_1x_2$，把它们表示出来：

目标式	用 $S,P$ 表示
$x_1^2+x_2^2$	$S^2-2P$
$x_1^3+x_2^3$	$S^3-3PS$
$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$	$\dfrac{S}{P}$
$\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}$	$\dfrac{S^2-2P}{P}$
$(x_1-x_2)^2$	$S^2-4P$
$\lvert x_1-x_2\rvert$	$\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{\lvert a\rvert}=\sqrt{S^2-4P}$
$(x_1+k)(x_2+k)$	$P+kS+k^2$

第9题就是第一行：$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=a^2-2(-1)=a^2+2$。

核心口诀：凡是关于两根的对称式，都能用"和 $S$"与"积 $P$"表示，于是不必真的解出根。

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三、判别式配合使用

韦达定理常和判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 联手，判断根的"存在性"和"符号"：

想要的根的情况	需要的条件
有两个不等实根	$\Delta>0$
有两个相等实根	$\Delta=0$
两根同号	$\Delta\ge0$ 且 $P=\dfrac ca>0$
两根异号	$P=\dfrac ca<0$（此时自动 $\Delta>0$）
两根同正	$\Delta\ge0,\ S>0,\ P>0$
两根同负	$\Delta\ge0,\ S<0,\ P>0$

例如第9题的方程 $x^2-ax-1=0$，$P=x_1x_2=-1<0$，说明两根必异号，且 $\Delta=a^2+4>0$ 恒成立——无论 $a$ 取何值都有两个异号实根。

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四、逆用：由根构造方程

已知两数 $x_1,x_2$，以它们为根的首一方程是：

$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0,\quad\text{即}\quad x^2-Sx+P=0$$

这在"已知两根和/积，反求方程或参数"时非常好用。

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五、推广到三次及一般 n 次方程

对三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$，三根 $x_1,x_2,x_3$：

$$x_1+x_2+x_3=-\frac ba,\quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac ca,\quad x_1x_2x_3=-\frac da$$

一般 $n$ 次方程 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0$ 的韦达定理（记根为 $x_1,\dots,x_n$）：

$$\sum x_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\qquad \prod x_i=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$$

一般地，$k$ 个根乘积之和（$k$ 次基本对称多项式）$=(-1)^k\dfrac{a_{n-k}}{a_n}$。规律：符号 $(-1)^k$ 交替，分母永远是最高次系数。

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六、应用场景速览

1. 求对称式的值（第9题）：$x_1^2+x_2^2$、$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}$ 等。
2. 判断根的符号/存在性：配合判别式列不等式。
3. 含参方程求参数：如"两根之和为 3"直接给出 $-\frac ba=3$。
4. 构造新方程：已知根的关系反推方程。
5. 几何/应用题：解析几何里直线与圆锥曲线联立后，用韦达定理处理交点坐标（$x_1+x_2$、$x_1x_2$）来算弦长、中点、面积，避免真解出交点。

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一句话总结

和是 $-\dfrac ba$，积是 $\dfrac ca$；对称式用和与积表示，不必解根。 再配上判别式判存在与符号，这套工具能覆盖初高中到联考的绝大多数二次方程问题。

需要的话，我可以给你出3~5 道由易到难的韦达定理练习（含求对称式、判符号、含参、构造方程各一类），你做完我来批。