梯形1

答案：C（35/6）

关键结论：过对角线交点且平行于底的线段 = 两底的调和平均

在梯形中，过两条对角线交点 $E$、且平行于上下底的线段，长度等于两底的调和平均数：

$$MN=\frac{2ab}{a+b}$$

其中 $a,b$ 是上底和下底。

代入计算

$a=5,\ b=7$：

$$MN=\frac{2\times5\times7}{5+7}=\frac{70}{12}=\frac{35}{6}$$

为什么是这个公式（简要推导）

设上底 $AD=a$、下底 $BC=b$。$MN$ 过 $E$ 分成 $ME$ 和 $EN$ 两段。

由 $\triangle EAD \sim \triangle ECB$（$AD\parallel BC$），相似比 $=\dfrac{AD}{BC}=\dfrac ab$，所以 $E$ 分对角线的比也是 $a:b$。

• $ME$ 在 $\triangle ABC$ 中，$ME\parallel BC$：$\dfrac{ME}{BC}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{a}{a+b}$，得 $ME=\dfrac{ab}{a+b}$
• 同理 $EN=\dfrac{ab}{a+b}$

$$MN=ME+EN=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\times5\times7}{12}=\frac{35}{6}$$

所以 $MN=\dfrac{35}{6}$，选 C。

顺带记忆梯形里三条常见"平行于底"的线段（上底 $a$、下底 $b$）：

• 中位线 = $\dfrac{a+b}{2}$（算术平均）
• 过对角线交点 = $\dfrac{2ab}{a+b}$（调和平均，本题）
• 平分面积的线 = $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$（平方平均）