曲线

答案：A（条件(1)充分，条件(2)不充分）

目标

判断能否确定 $(a+b-5)(a-b-5)=0$，即能否推出 $a+b=5$ 或 $a-b=5$（两个因子至少一个为 0）。

条件(1)：曲线过点 $(1,0)$

把 $x=1,\ y=0$ 代入 $y=x^3-6x^2+bx+a$：

$$0 = 1 - 6 + b + a = a+b-5$$

所以 $a+b-5=0$，第一个因子就是 0，于是

$$(a+b-5)(a-b-5)=0\cdot(a-b-5)=0 \checkmark$$

一定成立 → 条件(1)充分。

条件(2)：曲线过点 $(-1,0)$

把 $x=-1,\ y=0$ 代入：

$$0 = (-1)^3 - 6(-1)^2 + b(-1) + a = -1 - 6 - b + a = a-b-7$$

所以 $a-b=7$，于是

$$a-b-5 = 7-5 = 2 \neq 0$$

第二个因子是 $2$，不为 0。此时

$$(a+b-5)(a-b-5) = (a+b-5)\cdot 2$$

而 $a+b$ 并未确定（只知道 $a-b=7$），所以 $a+b-5$ 不一定为 0，乘积不一定等于 0。条件(2)不充分。

结论

条件(1)充分，条件(2)不充分，选 A。

易错点：条件(2)代入时符号要小心，$-6(-1)^2=-6$（不是 $+6$），$b\cdot(-1)=-b$，最后得到的是 $a-b=7$ 而非 $5$，正好差一点让因子不为 0。