错位排列"（全错位）问题

答案：D（9 种）

这是"错位排列"（全错位）问题

4 个部门的经理轮岗，要求每位经理都不能留在原部门（必须去其他部门）。这正是数学里的错位排列（derangement）：$n$ 个元素全部不在原位的排列数，记作 $D_n$。

用公式或递推求 $D_4$

公式：

$$D_n=n!\left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n!}\right)$$

代入 $n=4$：

$$D_4=4!\left(1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}\right)=24\times\frac{9}{24}=9$$

或用递推（好记）：$D_1=0,\ D_2=1$，之后

$$D_n=(n-1)\big(D_{n-1}+D_{n-2}\big)$$

• $D_3=2(D_2+D_1)=2(1+0)=2$
• $D_4=3(D_3+D_2)=3(2+1)=9$ ✓

直接数一遍验证（记部门为 1234）

设经理原来在 1、2、3、4 号部门，求每人都换位的排法。以"1 号经理去哪"分类：

• 去 2：剩下情形有 3 种
• 去 3：3 种
• 去 4：3 种

每一类恰好 3 种，合计 $3\times3=9$ 种。

所以不同的轮岗方案共 9 种，选 D。

一个常用小结论：错位排列前几项 $D_1{=}0,\ D_2{=}1,\ D_3{=}2,\ D_4{=}9,\ D_5{=}44$，考试遇到"都不在原位"直接套用即可。