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弓形（圆弓形 / circular segment）面积详解

弓形就是一条弦和它所对的弧围成的区域——像一张弓。下面把它的面积公式从头推一遍。

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一、基本图形

设圆的半径为 $r$，圆心为 $O$，一条弦 $AB$ 把圆分成两块，其中较小（或指定）的那块就是弓形。弦 $AB$ 所对的圆心角记为 $\theta$（用弧度）。

关键分解：

$$ \text{弓形} = \text{扇形 } OAB ;-; \text{三角形 } OAB $$

也就是"扇形挖掉中间那个三角形，剩下的弓形"。

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二、两块面积分别求

① 扇形面积

整个圆面积是 $\pi r^{2}$，对应圆心角 $2\pi$。扇形占的比例是 $\dfrac{\theta}{2\pi}$，所以

$$ S_{\text{扇}}=\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^{2}=\frac{1}{2}r^{2}\theta $$

② 三角形 $OAB$ 面积

两条边都是半径 $r$，夹角为 $\theta$，用"两边夹角"公式：

$$ S_{\triangle}=\frac{1}{2},r\cdot r\cdot\sin\theta=\frac{1}{2}r^{2}\sin\theta $$

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三、弓形面积公式

两者相减：

$$ \boxed{,S_{\text{弓}}=\frac{1}{2}r^{2}\left(\theta-\sin\theta\right),} $$

这就是核心公式。$\theta$ 用弧度；如果题目给的是度数，先换算 $\theta_{\text{弧度}}=\dfrac{\pi}{180}\theta_{\text{度}}$。

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四、回到第5题的用法

那题里公共弦所对圆心角 $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$（即 $120^\circ$），$r=1$：

$$ S_{\text{弓}}=\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\left(\frac{2\pi}{3}-\sin\frac{2\pi}{3}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} $$

其中扇形部分 $=\dfrac12\cdot\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$，三角形部分 $=\dfrac12\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{4}$，一目了然。

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五、几个常用角度的弓形面积（$r=1$）

圆心角 $\theta$	扇形 $\frac12\theta$	三角形 $\frac12\sin\theta$	弓形 $\frac12(\theta-\sin\theta)$
$60^\circ=\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\sqrt3}{4}$	$\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt3}{4}$
$90^\circ=\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}$
$120^\circ=\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\sqrt3}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{4}$
$180^\circ=\pi$（半圆）	$\dfrac{\pi}{2}$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$

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六、常见易错点

[!warning] 提醒

• $\theta$ 必须用弧度代入，$\sin\theta$ 里也是弧度对应的角；写成 $\theta-\sin\theta$ 时两处角度要一致。
• 当 $\theta>\pi$（弓形是"大半块"）时，$\sin\theta<0$，公式 $\dfrac12 r^2(\theta-\sin\theta)$ 仍然正确，会自动变成"扇形加三角形"，不用另记公式。
• 别把弓形和扇形搞混：扇形是两条半径加弧；弓形是一条弦加弧。

需要的话，我可以再补一张标注了扇形、三角形、弓形的示意图。