两圆阴影面积

 

以下是可直接粘贴进 Obsidian 的版本（行内用 $…$，独立公式用 $$…$$，块级公式单独成行）：

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第5题　两圆阴影面积

题目：圆 $A$ 与圆 $B$ 的半径均为 $1$，每个圆都过对方圆心（即圆心距 $AB=1$），求中间透镜形阴影的面积。

答案：$\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$（约 $1.23$）

1. 求交点

设 $A=(0,0)$，$B=(1,0)$，两圆方程为

$$ x^{2}+y^{2}=1,\qquad (x-1)^{2}+y^{2}=1 $$

两式相减得 $x=\dfrac{1}{2}$，代入得 $y^{2}=\dfrac{3}{4}$，故交点为

$$ \left(\tfrac{1}{2},\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\qquad \left(\tfrac{1}{2},\ -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) $$

2. 一个弓形的面积

公共弦在圆 $A$ 中所对圆心角为

$$ \theta = 2\times 60^{\circ}=120^{\circ}=\frac{2\pi}{3} $$

弓形面积（扇形减三角形）：

$$ S_{\text{弓}}=\frac{1}{2}r^{2}\left(\theta-\sin\theta\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} $$

3. 阴影 = 两个弓形

$$ S_{\text{阴影}}=2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} $$

[!warning] 易错点 选项 C（$\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$）只是一个弓形的面积，是阴影的一半。完整阴影需乘 $2$。

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如果你的其他几题也想要这种 Obsidian 版本，告诉我题号，我一并整理。另外若你的 Obsidian 里公式仍不渲染，通常是这两个原因：行内 $ 紧贴数字（如 $x$ 不能写成 $ x $），以及需要在设置里确认 MathJax 已启用（Obsidian 默认支持，无需插件）。