利润最大化公式

好的，我们一步步来分析这个利润最大化的问题。  

---

**第一步：设定变量**  
设降价次数为 \( x \)（每次降价 50 元）。  
- 每台售价：  
\[
2400 - 50x
\]
- 每台利润 = 售价 - 进价：  
\[
(2400 - 50x) - 2000 = 400 - 50x
\]
- 每天销量：  
\[
8 + 4x
\]

---

**第二步：总利润函数**  
每天总利润 \( P(x) \) = 单台利润 × 销量：  
\[
P(x) = (400 - 50x)(8 + 4x)
\]

---

**第三步：展开与化简**  
\[
P(x) = 400 \times 8 + 400 \times 4x - 50x \times 8 - 50x \times 4x
\]  
\[
P(x) = 3200 + 1600x - 400x - 200x^2
\]  
\[
P(x) = 3200 + 1200x - 200x^2
\]

---

**第四步：求最大值**  
这是一个开口向下的二次函数，最大值在顶点：  
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1200}{2 \times (-200)} = \frac{1200}{400} = 3
\]

---

**第五步：计算最优定价**  
定价：  
\[
2400 - 50 \times 3 = 2400 - 150 = 2250 \text{ 元}
\]

---

**最终答案**：  
\[
\boxed{2250}
\]

好问题，我们仔细拆解一下从第三步到第四步的过程。  

---

**第三步我们得到：**  
\[
P(x) = 3200 + 1200x - 200x^2
\]  

这是一个关于 \(x\) 的**二次函数**，标准形式为：  
\[
P(x) = ax^2 + bx + c
\]  
其中：  
\[
a = -200,\quad b = 1200,\quad c = 3200
\]

---

**如何求最大值：**  
因为 \(a < 0\)，抛物线开口向下，所以顶点对应最大值。  
二次函数顶点横坐标公式：  
\[
x = -\frac{b}{2a}
\]  

代入 \(a\) 和 \(b\)：  
\[
x = -\frac{1200}{2 \times (-200)}
\]  
\[
x = -\frac{1200}{-400} = 3
\]

---

这样就从二次函数表达式顺利过渡到了最优解 \(x = 3\)。  

关键点就是：  
- 确定是二次函数  
- 看二次项系数是否为负（开口向下）  
- 利用顶点公式求最优解  

希望这样解释清楚了。