比例五大定理

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比例五大定理

设 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，且 \(b \neq 0\)，\(d \neq 0\)。

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(1) 更比定理

交换两内项或两外项，比例仍成立。

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \]

条件：\(c \neq 0\)

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(2) 反比定理

比例两边同时取倒数，比例仍成立。

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \]

条件：\(a \neq 0\)，\(c \neq 0\)

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(3) 合比定理

分子加分母后与原分母的比相等。

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d} \]

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(4) 分比定理

分子减分母后与原分母的比相等。

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d} \]

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(5) 等比定理

若多个比相等，则所有分子之和与所有分母之和的比等于原比。

\[\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} \quad \Rightarrow \quad \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} = \frac{a_1}{b_1} \]

⚠️ 易错点（使用条件）：

等比定理成立的前提是：所有分母之和不为零。

\[b_1 + b_2 + \cdots + b_n \neq 0 \]

若分母之和恰好为零，则定理不能使用。

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完整举例

设 \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}\)

定理	推导	结果
更比	\(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{4}\)	成立
反比	\(\frac{2}{1} = \frac{4}{2}\)	\(2 = 2\)
合比	\(\frac{1+2}{2} = \frac{2+4}{4}\)	\(\frac{3}{2} = \frac{6}{4}\)
分比	\(\frac{1-2}{2} = \frac{2-4}{4}\)	\(\frac{-1}{2} = \frac{-2}{4}\)
等比	\(\frac{1+2+3}{2+4+6} = \frac{6}{12}\)	\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

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合分比定理（补充）

合比与分比结合使用：

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \]

条件：\(a \neq b\)，\(c \neq d\)

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