容斥原理

容斥原理是计算集合并集大小的基本工具。简单说，就是：

先加上各个集合的大小，再减去两两交集的大小，再加回三三交集的大小……依此类推，避免重复计数。

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1. 两个集合的情况

对于两个集合 ( A ) 和 ( B )：
[
|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
]

• 加两次交集部分会重复，所以要减去一次。

图示理解：

  A       B
 (   ∩   )

交集被数了两次，需减去一次。

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2. 三个集合的情况

[
|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C|

• |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C|

• |A \cap B \cap C|
  ]

• 先加单个集合，减去两两重叠（重复算了两次），再加回三重重叠（因为被减多了）。

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3. 刚才题中的应用

题中：

• ( A )：能被 5 整除的数，( |A| = 20 )
• ( B )：能被 7 整除的数，( |B| = 14 )
• ( A \cap B )：能同时被 5 和 7 整除（即被 35 整除），( |A \cap B| = 2 )

用容斥原理：
[
|A \cup B| = 20 + 14 - 2 = 32
]
这样就把重复计算的两个数（35 和 70）只算了一次。

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如果你想看更一般的 ( n ) 个集合的公式或推广，我也可以展开讲。