求导幂法则

**幂法则** 是微积分中用于求幂函数导数的一个基本法则。

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## 1. 公式

若
\[
f(x) = x^n
\]
其中 \(n\) 是任意实数常数，则
\[
f'(x) = n \cdot x^{n-1}
\]

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## 2. 例子

1. \(f(x) = x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2x^{1} = 2x\)  
2. \(f(x) = x^3 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 3x^{2}\)  
3. \(f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac12 x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)  
4. \(f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\)

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## 3. 带系数的幂函数

若
\[
f(x) = a \cdot x^n
\]
其中 \(a\) 是常数，则
\[
f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}
\]

**例子**：
- \(f(x) = 5x^4 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 5 \cdot 4 \cdot x^{3} = 20x^3\)  
- \(f(x) = -3x^{-2} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -3 \cdot (-2) x^{-3} = 6x^{-3} = \frac{6}{x^3}\)  
- 在你的题目中：\(-200x^2 \quad \Rightarrow \quad 导数 = -200 \cdot 2 \cdot x^{1} = -400x\)

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## 4. 与常数、加减法结合

导数运算是线性的：
\[
\frac{d}{dx}[c] = 0 \quad (c \text{ 是常数})
\]
\[
\frac{d}{dx}[a f(x) + b g(x)] = a f'(x) + b g'(x)
\]

所以：
\[
P(x) = 3200 + 1200x - 200x^2
\]
\[
P'(x) = 0 + 1200 \cdot 1 \cdot x^{0} - 200 \cdot 2 \cdot x^{1}
\]
\[
P'(x) = 1200 - 400x
\]

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这就是幂法则在你题目中的应用。

 

 

是的，幂法则

\[
\frac{d}{dx}[x^n] = n x^{n-1}
\]

对 **任意实数常数 \(n\)** 都成立，不仅限于正整数。

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## 例子分类

### 1. \(n\) 为正整数
\[
\frac{d}{dx}[x^5] = 5x^4
\]

### 2. \(n\) 为负整数
\[
\frac{d}{dx}[x^{-3}] = -3x^{-4}
\]
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^2}\right] = \frac{d}{dx}[x^{-2}] = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}
\]

### 3. \(n\) 为分数（有理数）
\[
\frac{d}{dx}[\sqrt{x}] = \frac{d}{dx}[x^{1/2}] = \frac12 x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
\[
\frac{d}{dx}[\sqrt[3]{x}] = \frac{d}{dx}[x^{1/3}] = \frac13 x^{-2/3}
\]
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}\right] = \frac{d}{dx}[x^{-1/2}] = -\frac12 x^{-3/2}
\]

### 4. \(n\) 为无理数
\[
\frac{d}{dx}[x^{\pi}] = \pi x^{\pi-1}
\]
\[
\frac{d}{dx}[x^{\sqrt{2}}] = \sqrt{2} \, x^{\sqrt{2}-1}
\]

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## 注意事项

- 幂法则对所有实数指数 \(n\) 在 **定义域内** 成立。  
  例如 \(x^{-1}\) 在 \(x=0\) 处不可导（甚至不连续），但在 \(x \neq 0\) 时导数公式成立。
- 当 \(n=0\) 时，\(x^0 = 1\)（常数函数），导数为 0，与 \(n x^{n-1} = 0 \cdot x^{-1} = 0\) 一致（\(x \neq 0\)）。
- 证明需要用到对数微分或极限定义，对实数 \(n\) 一般用 \(x^n = e^{n \ln x}\) 推导。

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所以在你原题中，\(x^2\) 的指数 \(2\) 是实数常数，直接应用幂法则即可。