单位根反演

给定$n,k$, 求$\sum \binom{n}{km}$, 时间复杂度$O(k\log n)$

 

下指标求和, 考虑函数$(1+x)^n$在单位根处的值, 有

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & \omega^1 & \cdots & \omega^{k-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & \omega^{k-1} & \cdots\ & \omega^{(k-1)(k-1)}
\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f_0\\f_1\\\vdots\\f_{k-1}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2^n\\(1+\omega)^n\\\vdots\\(1+\omega^{k-1})^n
\end{bmatrix}
$$

其中$f_i=\sum \binom{n}{km+i}$, $\omega$为$k$次单位根

所以可以得到

$$f_i=\frac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1}\omega^{-ij}(1+\omega^j)^n$$

所以$f_0=\frac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1} (1+\omega^j)^n$

 

 

对于函数$A(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} a_i x^i$

利用同样的方法可以得到$\sum a_{mk+i}= \frac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1}\omega^{-ij} A(\omega^j)$