Acw902.最短编辑距离

902.最短编辑距离

题目描述

给定两个字符串 \(A\) 和 \(B\)，现在要将 \(A\) 经过若干操作变为 \(B\)，可进行的操作有：

1. 删除–将字符串 \(A\) 中的某个字符删除。
2. 插入–在字符串 \(A\) 的某个位置插入某个字符。
3. 替换–将字符串 \(A\) 中的某个字符替换为另一个字符。

现在请你求出，将 \(A\) 变为 \(B\) 至少需要进行多少次操作。

输入描述

第一行包含整数 \(1\leq n \leq 1000\) ，表示字符串 \(A\) 的长度。
第二行包含一个长度为 \(n\) 的字符串 \(A\) 。
第三行包含整数 \(1\leq m \leq 1000\) ，表示字符串 \(B\) 的长度。
第四行包含一个长度为 \(m\) 的字符串 \(B\) 。
字符串中均只包含大小写字母。

输出描述

输出一个整数，表示最少操作次数。

解题思路

根据题目很容易想到暴力求解，但是复杂度显然不允许，可以发现长字符串的变化可以由短字符串得到，因此考虑使用动态规划来解决这个问题。
首先创建一个二维的dp数组，一维删除，一维插入。 \(dp[i][0]\) 表示将前 \(i\) 个字符的字符串变为空字符串所需的操作数，即删除操作的次数； \(dp[0][i]\) 表示将空字符串变为前 \(i\) 个字符的字符串所需的操作数，即插入操作的次数。总的来说， \(dp[i][j]\) 表示把 \(s1[1]\) - \(s1[i]\) 变成 \(s2[1]\) - \(s2[j]\) 需要操作的最少操作次数。
初始化 \(dp[0][0]\) 为 \(0\) ，表示从空字符串到空字符串需要操作的次数是 \(0\) 。
对于每个字符 \(s1[i]\) 和 \(s2[j]\) ，如果它们不同，则可以有三种操作：

1. 删除 \(s1[i]\) ，即 \(dp[i-1][j]+1\)
2. 插入 \(s2[j]\) ，即 \(dp[i][j-1]+1\)
3. 替换 \(s1[i]\) 为 \(s2[j]\) ：即 \(dp[i-1][j-1]+1\)

如果它们相同，则不需要进行操作，操作数为 \(dp[i-1][j-1]\)
因此我们可以得到以下状态转移方程：

\[dp[i][j]=min \begin{cases} dp[i−1][j]+1 , (删除操作) \\ dp[i][j−1]+1 , (插入操作) \\ dp[i−1][j−1]+cost , (替换操作，如果s1[i-1]==s2[j-1]，cost=0，否则cost=1) \end{cases} \]

结合上述步骤即可得到最终答案。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
const int inf = 2e9;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    int n, m;
    std::string s1, s2;
    std::cin >> n >> s1 >> m >> s2;
    s1 = " " + s1;
    s2 = " " + s2;
    std::vector<std::vector<int>> dp(n + 1, std::vector<int>(m + 1, inf));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        dp[0][i] = i;
    }
    dp[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = std::min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
            if (s1[i] == s2[j]) {
                dp[i][j] = std::min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1]);
            } else {
                dp[i][j] = std::min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + 1);
            }
        }
    }
    std::cout << dp[n][m];
}