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同余 欧拉定理 当 $(a,p) = 1$, $$ a^{\phi(p)}\equiv 1\pmod p $$ $a$ 对 $\bmod p$ 的指标 $d$ 满足 $d | \phi(p)$, 但未必等于 $\phi(p)$. 费马小定理 若 $p \in \mathbb P$ (质数集合), $ 阅读全文
posted @ 2019-07-03 20:51
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KMP 算法 KMP (Knuth Morris Pratt) 算法是一种在线性时间内匹配文本串和模式串的算法. 称字符串的 Border 集合为 $$ \operatorname {Border} (S) = \{Pre_S(j) | Pre_S(j) = Suf_S(n j + 1) \land 阅读全文
posted @ 2019-07-02 10:11
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生成函数计数总结 生成函数观点下的 Cayley 公式 我们知道 $n$ 个节点有标号无根树有 $n^{n 2}$ 种. 这其实也可以用生成函数求出. 设 $G(x)$ 为指数生成函数, 其中 $i (i 0)$ 次项系数 $g_i$ 表示 $i$ 个节点的有标号有根树数目. 不考虑空树的影响, 即 阅读全文
posted @ 2019-06-26 09:48
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多项式 多项式 形如 $$ F(x) = \sum_{i\ge 0} f_i x^i $$ 这里的多项式实际上指的是形式幂级数, 也就是 $\mathrm R[[x]]$, 因为我们只关注它每一项的系数. 牛顿迭代法 给定定义域为多项式的函数 $G(x)$, 求多项式 $F(x)$, 使得 $$ G 阅读全文
posted @ 2019-06-25 22:33
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最小树形图 图的 (叶向) 树形图指的是从一个点出发, 能到达其他所有节点, 且基图是一棵树的子图. 求图的最小树形图常用朱刘算法, 时间复杂度 $O(nm)$. 一个例子: 代码 阅读全文
posted @ 2019-06-24 21:20
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常系数线性递推 给定向量 $A_0 = (a_1, a_2, \dotsc, a_k)$, 和向量 $H = (h_1, h_2, \dotsc, h_k)$, 同时 $$ a_n = \sum_{i=1}^k a_{n i} h_i $$ 求 $a_n$. 算法 我们只需求出 $A_n = (a_ 阅读全文
posted @ 2019-06-21 21:18
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克鲁斯卡尔重构树 发现没把板子放上来... 现在放一下 克鲁斯卡尔算法的正确性是利用反证法证明的. 简要地说, 就是如果不加入当前权值最小的边 $e_1$, 那么之后加入的边和这条边会形成一个环. 去掉这个环上权值最大的边 $e_2$ 并加入 $e_1$, 答案不会更劣. 阅读全文
posted @ 2019-06-21 20:45
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这是上一篇博客的源代码. 阅读全文
posted @ 2019-06-21 16:50
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这是班刊约稿的一篇文章. 全文约6000字, 预计需要 60 分钟读完. Markdown 标记语言指北 TOC 1. "什么是 Markdown?" 1. "Markdown 可以用来干什么?" 2. "第一步?" 1. "一些专业一点的内容" 3. "Markdown 的简要语法" 1. "GF 阅读全文
posted @ 2019-06-21 16:33
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斯特林数 (Stirling Number) 是两组数列, 其与上升幂,下降幂多项式密切相关, 也广泛用于组合问题中. 第一类斯特林数 定义 定义(无符号)第一类斯特林数, 表示 $n$ 个有标号元素分为 $k$ ($k \le n$) 个无标号环排列 (翻转算两种) 的方案数. 记做 ${n \b 阅读全文
posted @ 2019-05-23 16:07
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