单调数组优化最长上升子序列

一道非常简单的题，此随笔记录下优化思路QwQ

给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式

第一行包含整数N。第二行包含N个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

1≤N≤100000，
−1e9≤数列中的数≤1e9

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

分析

列如有以下：

\[3~~1~~2~~1~~8~~5~~6 \]

依据题意，我们可以发现对于3而言，其后面有一个比他小的数1，那么任何可以接到3后面的数，一定可以接到1的后面，其他类同。那么3这个上升子序列就没有必要存下来了。因为1比3的适用范围更大。接用单调队列的思想，对于长度为n的上升子序列我们只需要存储一个结尾最小的就可以了。子序列的结尾最小值是随着子序列的长度增长严格单调递增的。为了寻找最小的数，我们可以使用二分。优化后为\(O(nlogn)\)。

实现

//这里使用单调数组来实现，总体思想实际上更偏向于贪心。
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int q[10000];
        int len = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i ++){
              int l = 0, r = len;
              while(l < r){                   //二分找到一个最大的小于当前数的数。
                  int mid = l + r + 1 >> 1;
                  if(q[mid] < nums[i]) l = mid;
                  else r = mid - 1;
              }
              q[r + 1] = nums[i];
              if(r + 1 > len) len ++;
        }
        return len;
}