2021.09.16pm

----	预期	实际
A	100	50
B	100	0
C	50	50
D	100	90
E	100	100
F	100	50
S	550	340

可能水，一定菜

SPECIAL 赛车([CEOI 2003] The Race) \(\blacktriangle\!\blacktriangledown\!\blacktriangle\)

1. 作为基础题的最后一道，我觉得有点委屈它。
2. 这道题之前做过，并且做对了。但之前写的过于冗杂且效率不高。
3. 这道题询问了两个问题，看似有联系，实则得分开求解，原因在于超车事件最多只输出 \(10000\) 个

Q1

1. 第一问是相对容易解决的。会发生超车，是因为在后面的车跑的比你快，或者前面的车比你跑的慢。这不就是逆序对吗。用树状数组找就解决了。
2. 但这里有一个小差别：用距离当第一关键词还是用速度当第一关键词。我们希望时间和空间尽量小，那就选范围大的作为第一关键词排序（同时距离也不会重复），时间复杂度和空间复杂度均从 \(O(n \log n+x \log x)\) 优化到 \(O(n \log n+v \log v)\)

Q2

1. 定理一：\(A\) 超过 \(B\) ,则 \(B\) 不可能再超过 \(A\)
2. 定理二: \(A\) 前方分别是 \(B\) 与 \(C\) 则，\(A\) 必须先超过 \(B\) 再超过 \(C\),或必须 \(B\) 超过 \(C\) 后 \(A\) 才可能超过 \(C\),\(or\) ,只能先超过相邻的人或被相邻的人超过
3. 证明：容易证明(这里写不下)
4. 解这道题这两个定理就足够了。
5. 我们先找每一个人 \(A\) 前方的第一个人 \(B\),如果能超车就放进优先队列，按照追上时间为第一关键字，追上位置为第二关键字降序排序(\(P.S.\) 某大佬想通过推导式子找出排序依据，并发出了 \(double\) 狗都不用的著名言论，并在改成double后A了此题 )
6. 每次\(push\)同时维护目前的位置状态，把新产生的两组可能追上的情况(\(A.B.C.D. \to A.C.B.D\)，故可能 \(C\) 追上 \(A\) 和 可能 \(D\) 追上\(A\))
7. 有两个小问题
   • 一个是怎么堆外维护目前状态。
     • 可以用链表（但是我写挂了，也和我的其他实现方式有关）
     • 亦可以用映射。一个数组维护每辆车对应的距离排名，另一个数组维护总体的状态（以查找前后的车辆）
   • 另一个是排重
     • 为什么会有这个问题：\(A.B.C.D. \to A.B.D.C. \to B.A.D.C. \to B.D.A.C.\to D.B.A.C.\)
     • 可以发现第二次和第三次\(D\) 与 \(B\) 都相邻，那么可能都会扔进堆里。
     • 解决方法也很多，可以\(hash\)，但是难写。题目中给出了不会在同一位置出现超车，我们第二关键字就是超车位置，那和前一个出堆的相同跳过答案就不会重复了

A NOIP题海战 \(\blacktriangle\)

1. 这道题主要是数据恶心。最后一行没给全，这样我的代码就会有问题。
2. 就是道模拟，暴力都能过

B 有序表的最小和 \(\blacktriangle\!\blacktriangledown\)

1. 维护一个堆，先把\(a[1]+b[i]\)全部放进去，每次取出时更新\(a[i] \to a[i+1]\) 再放进堆即可

C 木板 \(\blacktriangle\!\blacktriangledown\!\blacktriangle\)

1. 这道题很高兴，因为只会打暴力DP
2. 严格复杂度 \(O(n^2)\) ,但这道题稍微优化一下能过掉
3. \(DP\) 方程：

\[ DP[i]=\min(DP[i-1]+ch) \]

4. 表示已经拼了\(i-1\) 个木板，转移到拼 \(i\) 个木板，右端点最靠左是多少。（背包）
5. 优化：先排序，从已知成立的位置开始向下以此枚举，枚举到第一个非最优的情况（再往下就更不可能是最优的）
6. \(tag\) 是优先队列，但据说正解是贪心，这究竟是什么题

D 区间和 \(\blacktriangle\)

1. 树状数组
2. 听说你没开 \(long long\)？（黑人抬棺）

E 堆排序 \(\blacktriangle\)

1. \(RT\)

F 双端队列 \(\blacktriangle\!\blacktriangledown\)

1. 之前做过，一遍对，复杂度\(O(n+n\log n)\),但是这次却写挂了···
2. 我们可以把双端队列看成一个奇怪的队列。因为最后要拼成一个递增的数组，那么我们完全可以先按数值进行排序，从最小的开始以此选，看能否放进同一个双端队列，不能则再开一个
3. 那么问题在于什么情况下必须新开一个双端队列？（我们先考虑没有重复元素的情况）
   • 因为当前队列必须放入剩下的最小的元素，而放下之后就只能从一端进队列了，也就是说，位置在最小元素之前的用的是双端队列，之后的是队列。
   • 上方虽然用的是双端队列，我们依然可以看成是队列，但加入顺序是从最小元素的位置先向上扫，再从最上面往下扫。也就是说，从当前最小的元素开始，依次加入大一点的元素，如果满足当前趋势（若在下侧，则只能一直向下；若在上侧，先向上扫再向下扫）则加入这个队列，不满足，则重新开一个。
   • 对于相同元素，我们按照出现先后顺序进行排序，目的是能找到相同区间的左右端点，来判断目前趋势是否改变。
     \(\cal CODE:\)

inline int suan(int fang){
    int ans=1;
    int maxn=0;
    int i=1,j;
    while(p[i+1].va==p[i].va)i++;//i,j是区间两个端点
    maxn=p[i].num;
    i++;
    for(;i<=n;i++){
        j=i;
        while(p[j+1].va==p[i].va)j++;
        if(fang==2){//向上
            if(maxn>p[j].num)maxn=p[i].num;
            else{
                maxn=p[j].num;
                fang^=1;
            }
        }
        else{//趋势向下
            if(maxn<p[i].num)maxn=p[j].num;
            else{
                ans++;
                maxn=p[i].num;
                fang^=1;
            }
        }
        i=j;
    }
    return ans;
}

\(\cal {Made} \ {by} \ {YuGe}\)