洛谷 P1005 矩阵取数游戏

我是题目

题目大意

现在有一个\(n\times m\)的矩阵，现在要从中取数，每次取数只能取走每行的第一个或者最后一个，并且每次取数都是对每一行操作的，也就是说每一次取数会从每一行取一个，总共\(n\)个，现在让你取\(m\)次，也就是说，\(m\)次之后整个矩阵都取完了，让你计算最大得分。

得分计算方法：对于第\(i\)次取数中取出的数字\(x\)，它的得分是\(x\times 2^i\)（注意，一次取数取了\(n\)个数字！），然后请你求出最大的得分是多少...

样例解释

我觉得这个样例一开始有点难以理解，因为我开始没看懂题目，于是这里解释一下：

第一次取走第一行的\(1\)以及第二行的\(2\)，得分是\(1\times 2^1+2\times 2^1=6\)

第二次取走第一行的\(2\)以及第二行的\(3\)，得分是\(2\times 2^2+3\times 2^2=20\)

第三次取走第一行的\(3\)以及第二行的\(4\)，得分是\(3\times 2^3+4\times 2^3=56\)

所以总得分是：\(6+20+56=82\)

思路

显然的区间\(dp\)啊！因为每一行的取值不会影响其他行的计算，所以我们对于每一行取计算它取数\(m\)次的最大值，最后再加起来就好了。我们设计状态\(dp_{l,r,k}\)表示在第\(k\)行，对于区间\([l,r]\)的最大得分是多少，然后可以得出状态转移方程：

\[dp_{l,r,k}=max(dp[l+1][r][k]+mp[k][l],dp[l][r-1][k]+mp[k][r])\times 2 \]

这个转移方程说的是什么呢？就是如果我们取了第\(k\)行的最左边，那么我们就把当前区间的左端点加上\(1\)，并且加上最左边的那个值；如果取右边，则同理，缩小右端点并且加上最右边的那个值。最后的那个\(*2\)是什么意思？读题，因为每次取数的得分是要乘上\(2^i\)的，所以我们每一次都乘上\(2\)，那么自然的，每一次乘上的就有了这次的\(*2\)及之前一共乘的\(2^{i-1}\)，乘一下就是\(2_i\)了。

显然，此处的\(k\)是枚举的，且在状态转移中是不变的，所以这一维便可以优化掉，也就是\(dp_{i,j}\)，只需要在计算每一行时\(memset\)为\(0\)就好了。

关于精度问题的话，显然\(long\ long\)是远远不够的，那么就是高精度了，但是您觉得我是那种写高精度的人吗？__int128直接上，嘿嘿嘿。（\(128\)位是够得，注意，\(NOIp\)系列比赛中是不可使用的，老老实实写高精度吧/fad）

\(ACcode:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(register int i=l;i<=r;i++)
#define D(i,r,l) for(register int i=r;i>=l;i--)
#define ll long long
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define p_b push_back
#define m_p make_pair
#define il inline
#define int __int128
//define一下，__int128太长了:-(
const int INF=0x3f3f3f3f;
using namespace std;
int fr() {
	char ch=getchar();
	int num=0,k=1;
	while((ch>'9'||ch<'0')&&ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') k=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0') num=num*10+ch-'0',ch=getchar();
	return num*k;
}
void write(int x) {
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n,m;
int dp[85][85],ans,mp[85][85];
signed main() {
	n=fr(),m=fr();
	F(i,1,n) F(j,1,m) mp[i][j]=fr();
	F(i,1,n) {
		F(len,0,m) {
			F(l,1,m) {//区间dp套路写法/xyx
				int r=l+len;
				if(r>m) break;
				dp[l][r]=max(dp[l+1][r]+mp[i][l],dp[l][r-1]+mp[i][r])*2;
			}
		}
		ans+=dp[1][m];
		mem(dp,0);//不要忘记清0！
	}
	write(ans);
	return 0;
}