原根

参考

阶

群中， 一个元素 a 的阶是使得 a^d = ε 的最小正整数 d， ε 是这个群的单位元。

一个元素 a 的阶被记为 ord(a) 或 |a|。

在模 p 剩余系内， 记 ord_p(a) 表示 mod p 意义下 a 的阶。（显然只有与 p 互质的 a 才可能有有限阶）

原根

若在模 m 剩余系内， ord_m(a) = φ(m)， 则称 a 是 mod m 意义下的原根。

原根的存在性

当且仅当 m = 1,2,4,p^k,2p^k 时 mod m 剩余系内有原根， 其中 p 是奇素数， k 是任意正整数。

如果 p 是一个奇素数且模 p 剩余系内有原根 g， 那么 g 或者 g+p 是模 p² 剩余系的一个原根。

如果 r 是模 p² 剩余系的原根， 它也是模 p^k 剩余系的原根。

计算原根

考虑枚举满足 a ⊥ m 的 a。 然后枚举 φ(m) 的质因子 p， 判断是否 a^φ(m)/p ≡ 1 (mod m)， 如果对于所有 p， 该等式都不成立， 那么 a 就是原根。

显然是成立的，证明用到的理论仅限于约数倍数，再此略去。