多项式牛顿迭代

目录

• 多项式 Taylor 展开
  • 多项式复合函数
  • 多项式泰勒展开
• Newton's Method
  • 多项式方程的解
  • 例子：多项式求逆
  • 例子：多项式 exp

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多项式 Taylor 展开

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具 [3] 。

--- baidu baike

多项式复合函数

G(f)， f 是多项式。

多项式复合函数的导数是对 f 求导。

即， f = a₀ + a₁x + ...， A(x) = b₀ + b₁x + ..., G(f) = f² + A(x)， 那么 G(f) 对 f 求导得到 G'(f) = 2f， A(x)

不会随着 f 改变而改变， 所以算是常数项， 别忘了现在是在对 f 求导。

多项式泰勒展开

对于多项式复合函数 G(f)， 若已知其在 f₀ 处的取值 G(f₀)， 那么其在任意 f 处的取值 G(f) 则可如此表示：

\[\begin{align} G(f) &= \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{G^{(n)}(f_0)}{n!}(f - f_0)^n\\ &= G(f_0) + \frac{G'(f_0)}{1!}(f-f_0) + \frac{G''(f_0)}{2!}(f-f_0)+\cdots \end{align} \]

当然， 这里的 n 阶导数是对 f 求导的。

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Newton's Method

多项式方程的解

给定多项式复合函数 G(x)， 求多项式 F(x) mod xⁿ 使得 G(F(x)) ≡ 0 ( mod xⁿ)

考虑倍增法， 已知 \(G(f'(x)) \equiv 0 \mod x^{n/2}\)， 考虑拓展到 \(G(f(x))\equiv 0 \mod x^n\)， 泰勒展开一下有：

\[\begin{align} G(f(x)) &= G(f_0(x))\\ &+\frac{G'(f_0(x))}{1!}(f(x)-f_0(x))\\ &+\frac{G''(f_0(x))}{2!}(f(x)-f_0(x))^2\\ &+\cdots \end{align} \]

然而由于

\[f(x) - f_0(x) \equiv 0 \mod x^{n/2}\\ (f(x) - f_0(x))^2 \equiv 0 \mod x^n \]

那么就可以很 nice 地得出：

\[\begin{align} G(f(x)) &\equiv G(f_0(x)) + G'(f_0(x))(f(x) - f_0(x)) &\mod x^n\\ 0 &\equiv G(f_0(x)) + G'(f_0(x))(f(x) - f_0(x)) &\mod x^n\\ f(x)G'(f_0(x)) &\equiv f_0(x)G'(f_0(x)) - G(f_0(x)) &\mod x^n\\ f(x) &\equiv f_0(x) - \frac{G(f_0(x))}{G'(f_0(x))} &\mod x^n \end{align} \]

例子：多项式求逆

给定 A(x)， 要求 B(x) 满足 A(x)B(x) ≡ 1 mod xⁿ。

\(A(x)B(x)\equiv 1\)， \(\dfrac1{B(x)} - A(x) \equiv 0\)， 是个多项式方程， \(G(f) = \dfrac 1f - A(x)\)， \(G'(f) = -f^{-2} = -\dfrac 1{f^2}\)。

代入牛顿迭代式：

\[\begin{align} f(x) &\equiv f_0(x) - \dfrac{\dfrac1{f_0(x)} - A(x)}{-\dfrac 1{f_0(x)^2}}\\ &\equiv f_0(x) + f_0(x) - f_0(x)^2A(x)\\ &\equiv f_0(x)(2 - f_0(x)A(x)) \end{align} \]

例子：多项式 exp

给定 A(x)， 要求 B(x) 满足 B(x) ≡ e^A(x) mod xⁿ。

首先两边取 ln， \(\ln B(x) - A(x) \equiv 0\)， 是个多项式方程，\(G(f) = \ln f - A(x)\)， \(G'(f) = \dfrac 1{f}\)。

代入牛顿迭代式：

\[\begin{align} f(x) &\equiv f_0(x) + \dfrac{\ln f_0(x) - A(x)}{\dfrac1{f_0(x)}}\\ &\equiv f_0(x)(1 + \ln f_0(x) - A(x)) \end{align} \]