小记

辗转相减算法

两个数辗转相减（每次较大变成它本身减去较小的）， 待到两数相同时这个数值就是开始时两个数的 gcd

设有两个数 \(a>b\)， 设其 gcd 为 \(g\)， 则显然 \(a=x*g>b=y*g\) 且 \(gcd(x,y)=1\)。

于是相当于证明两个互质的数辗转相减最终会得到 1。

这个就比较显然， 因为若有数 \(p>q\) 且 \(gcd(p,q)=1\)， 那么对于 \(p-q\) 和 \(q\)， 若其 gcd 不为 1， 即 \(p-q=x*g\) ， \(q=y*g\) ， \(g>1,\quad x,y\ge 1\)， 那么 \(p=(p-q)+q = (x+y)*g\)， 与 \(gcd(p,q)=1\) 矛盾。所以以两个互质的数开始辗转相减的过程中， gcd 始终为 1， 而每次都是大的减去小的， 所以两个数都始终 \(\ge 1\)， 所以最终得到的就是两个 1。

至于辗转相除算法， 实际上就是加速了辗转相减的过程。

裴蜀定理

\(ax+by=gcd(a,b)\) 一定有解。

由于上面的定理， 辗转相减/相除 gcd 不变， 可以容易地得出此定理。（辗转相除+归纳法）