图上负环判定小记

本文全文参考了 《算法竞赛进阶指南》by lydrainbowcat

如果一个环上所有边的权值和为负数，称其为负环。

常用的能够判断负环的算法一般就是 Bellman-Ford 系的最短路算法。

若图中存在负环，那么直观表现为：总是存在一条边 \((x,y)\)， 使得 \(\sf d[y]\le d[x]+w(x,y)\) 不被满足。根据抽屉原理， 若源点到节点 \(x\) 的最短路包含 \(\ge n\) 条边， 那么这条路径必然重复经过了某个点 \(p\)， 如果这个环是正环， 显然去掉这个环后会得到一条更短的最短路， 与假设矛盾， 于是这个环必定是负环， 由负环的性质知从源点到节点 x 不存在最短路。

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Bellman-Ford 算法判定负环

若经过 n 次迭代后， 算法未结束， 则图中存在负环， 反之不存在。

示例代码， 参考了 OI-wiki：

bool Bellman_Ford() {
	for(int i=0; i<n; ++i) {
		bool jud = false;
		for(int j=1; j<=n; ++j)
			for(int k=h[j]; ~k; k=nxt[k])
				if(dist[p[k]] > dist[j] + w[k])
					dist[p[k]] = dist[p[k]] + w[k],
							jud = true;
		if(!jud) break;
	}
	for(int j=1; j<=n; ++j)
		for(int k=h[j]; ~k; k=nxt[k])
			if(dist[p[k]] > dist[j] + w[k])
				return true;
	return false;	
}

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队列优化的 Bellman-Ford 判负环：

设 \(cnt[x]\) 表示从源点到 \(x\) 的最短路经过的边数， 在最短路执行的过程中维护其， 不难发现可以轻松地判断某一时刻是否有某个 \(x\) 满足 \(cnt[x]\ge n\)， 就可以判负环了。

另一种方法是记录每个点入队的次数，次数达到 n 的时候说明有负环。（我还不懂这个）