洛谷 P7515 - [省选联考 2021 A 卷] 矩阵游戏（差分约束）

题面传送门

emmm……怎么评价这个题呢，赛后学完差分约束之后看题解感觉没那么 dl，可是现场为啥就因为种种原因想不到呢？显然是 wtcl（

先不考虑“非负“及” \(\le 10^6\) ”这两条件，考虑什么样的矩阵 \(A\) 能够生成 \(B\)，我们首先考虑矩阵 \(A\) 的一个特解 \(A'\)：第一行和第一列都是 \(0\) 的情况，显然 \(A'\) 可以通过一遍反着递推求出。接下来考虑怎样通过 \(A'\) 推出所有符合要求的矩阵 \(A\)，一个显然的事实是如果确定了该矩阵 \(A\) 的第一行和第一列，那么最终的矩阵就定下来了。注意到 \(A\) 的第一行第一列的元素 \(A_{11}\) 是有点特别的，因为它既在第一行又在第一列，我们先忽略它，暂且将它定为 \(0\)。我们考虑对于某个 \(i\ne 1\)，将 \(A_{1i}\)（或 \(A_{i1}\)）由 \(0\) 变为 \(v\) 对整个矩阵 \(A\) 产生的影响，以 \(A_{1i}\) 为例，手玩几组数据就可以发现若 \(A_{1i}\) 变成 \(v\)，那么 \(A_{2i}\) 会减去 \(v\)，\(A_{3i}\) 会加上 \(v\)，\(A_{4i}\) 又会减去 \(v\)，以此类推。我们假设 \(x_i=A_{i1},y_i=A_{1i}\)，那么

\[A=A'+\begin{bmatrix} 0&y_2&y_3&\cdots&y_j&\cdots&y_m\\ x_2&-x_2-y_2&x_2-y_3&\cdots&(-1)^{j+1}x_2-y_j&\cdots&(-1)^{m+1}x_2-y_m\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_i&-x_i+(-1)^{i+1}y_2&x_i+(-1)^{i+1}y_3&\cdots&(-1)^{j+1}x_i+(-1)^{i+1}y_j&\cdots&(-1)^{m+1}x_i+(-1)^{i+1}y_m\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_n&-x_n+(-1)^{n+1}y_2&x_n+(-1)^{n+1}y_3&\cdots&(-1)^{j+1}x_n+(-1)^{n+1}y_j&\cdots&(-1)^{m+1}x_n+(-1)^{n+1}y_m \end{bmatrix} \]

考虑加上 \(A_{11}\) 之后的影响，那么 \(A_{ij}\) 会加上 \((-1)^{i+j+1}A_{11}\)，这个看起来有点棘手，怎么办呢？我们考虑设 \(A_{11}=x_1+y_1\)（这个 \(x_1\) 可以为任意整数），我们令新的 \(x_i\leftarrow x_i+(-1)^{i}y_1\)，再令新的 \(y_i\leftarrow y_i+(-1)^ix_1\)，不难发现经过这样的转化之后，\(A_{i,j}\) 由原来的 \(A'_{i,j}+(-1)^{j+1}x_i+(-1)^{i+1}y_j\) 变为 \(A'_{i,j}+(-1)^{j+1}(x_i+(-1)^iy_1)+(-1)^{i+1}(y_j+(-1)^jx_1)=A'_{i,j}+(-1)^{j+1}x_i+(-1)^{i+1}y_j+(-1)^{i+j+1}(x_1+y_1)\)（注：该式子中的 \(x_i,y_i\) 为原来的 \(x_i,y_i\)，下同）刚好就是新的 \(A_{i,j}\)，但是这样第一行第一列的值就不对了，此时考虑再令 \(A_{i1}=x_i+(-1)^{i+1}y_1\)，\(A_{1i}=y_i+(-1)^{i+1}x_1\)，这样新的 \(A_{1i}=x_i+(-1)^{i}y_1+(-1)^{i+1}y_1\) 刚好就是原来的 \(x_i\)，\(A_{i1}\) 也同理。因此新的 \(A_{i,j}=A'_{i,j}+(-1)^{j+1}x_i+(-1)^{i+1}y_j\)，就不用考虑 \(i,j\) 是否为 \(1\)，显然一组 \(x,y\) 对应一个生成 \(B\) 的矩阵 \(A\)，而一个对于 \(A\) 又存在合法的 \(x,y\)，因此我们只用求出合法的 \(x_i,y_j\) 即可构造出符合要求的 \(A\)

我们考虑 \(A_{i,j}\) 非负这个条件的具体作用，由于涉及 \((-1)^i\) 这种形式的东西，因此按 \(i,j\) 的奇偶性分类讨论：

• \(i\) 为奇数，\(j\) 为奇数，\(0\le x_i+y_j+A'_{i,j}\le 10^6\)
• \(i\) 为奇数，\(j\) 为偶数，\(0\le -x_i+y_j+A'_{i,j}\le 10^6\)
• \(i\) 为偶数，\(j\) 为奇数，\(0\le x_i-y_j+A'_{i,j}\le 10^6\)
• \(i\) 为偶数，\(j\) 为偶数，\(0\le -x_i-y_j+A'_{i,j}\le 10^6\)

中间两个都可通过某种方式转化为差分约束的标准形式，关键是前两个怎么处理，其实也比较 simple，我们令 \(x'_i=(-1)^{i+1}x_i,y'_i=(-1)^iy_i\)，那么上面四种情况又可写作：

• \(i\) 为奇数，\(j\) 为奇数，\(0\le x'_i-y'_j+A'_{i,j}\le 10^6\)
• \(i\) 为奇数，\(j\) 为偶数，\(0\le -x'_i+y'_j+A'_{i,j}\le 10^6\)
• \(i\) 为偶数，\(j\) 为奇数，\(0\le -x'_i+y'_j+A'_{i,j}\le 10^6\)
• \(i\) 为偶数，\(j\) 为偶数，\(0\le x'_i-y'_j+A'_{i,j}\le 10^6\)

这下四个式子都可以转化为差分约束的形式了，直接差分约束建出图来判个负环即可。

时间复杂度 \(Tn^3\)

这里有一个小小的细节以前一直没有注意过，这里稍微提一下，就是判负环过程中的“松弛次数”只要 \(dis\) 值被更新了就行，不一定指“入队次数”，这样常数会小一些，否则对于 NO 的数据可能要跑很久，我一直为此 TLE 50，交了 \(114514191981019260817998244353\) 发（bushi）

代码异常好写：

const int MAXN=300;
const int MAXV=600;
const int MAXE=300*300*2;
int n,m,a[MAXN+5][MAXN+5],b[MAXN+5][MAXN+5];
int hd[MAXV+5],to[MAXE+5],nxt[MAXE+5],val[MAXE+5],ec=0;
void adde(int u,int v,int w){to[++ec]=v;val[ec]=w;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
bool inq[MAXV+5];ll dis[MAXV+5];int in[MAXV+5];
void clear(){
	memset(b,0,sizeof(b));
	memset(hd,0,sizeof(hd));ec=0;
	memset(in,0,sizeof(in));
	memset(dis,0,sizeof(dis));
	memset(inq,0,sizeof(inq));//注意清空 inq 数组，因为有可能出现判到负环就 return 的清空，所以最后 inq[i] 不一定是 0
}
void solve(){
	scanf("%d%d",&n,&m);clear();
	for(int i=1;i<n;i++) for(int j=1;j<m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
	for(int i=2;i<=n;i++) for(int j=2;j<=m;j++) b[i][j]=a[i-1][j-1]-b[i-1][j]-b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){
		if(~(i+j)&1) adde(i,j+n,b[i][j]),adde(j+n,i,1e6-b[i][j]);//x[i]-y[j]
		else adde(j+n,i,b[i][j]),adde(i,j+n,1e6-b[i][j]);//y[j]-x[i] 
	} queue<int> q;
	for(int i=1;i<=n+m;i++) q.push(i),inq[i]=1;
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();inq[x]=0;
		for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
			int y=to[e],z=val[e];
			if(dis[y]>dis[x]+z){
				dis[y]=dis[x]+z;
				if(++in[y]>n+m) return puts("NO"),void();//这边稍微注意下，不一定要写到下面一个 if 中
				if(!inq[y]) q.push(y),inq[y]=1;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){
		if(~(i+j)&1) b[i][j]+=dis[i]-dis[j+n];
		else b[i][j]+=dis[j+n]-dis[i]; 
	} printf("YES\n");
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) printf("%d%c",b[i][j]," \n"[j==m]);
}
int main(){int qu;scanf("%d",&qu);while(qu--) solve();return 0;}