洛谷 P5448 - [THUPC2018]好图计数（生成函数）

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好久没做图计数了，开了一道就是不会做的题（其实是看到无标号就觉得要毒瘤东西就没想多久）其实这题对于“无标号”的处理方法，和 CF848D，唯一的相同点就是没有不同点（大雾

首先先考虑一个套路化处理图计数的方法：将图分为连通图和非连通图处理。应用到此题而言，有：对于一张点数 \(\ge 2\) 的连通好图，其补图必然是非连通的，因为一个连通块的好图必然要么是一个单点（点数 \(<2\)），要么是由某个好图取反得到的，不可能跟其他连通好图拼起来（因为只有一个连通块），而这个取反的好图必然是非连通的（否则它肯定还是只能通过取反得到，这样就成环了）。而对于非连通好图，其补图必然是连通好图，这个不多做解释，这样我们就构造了连通好图和非连通好图的双射。于是如果设 \(f_n\) 表示 \(n\) 个点好图个数，\(g_n\) 表示 \(n\) 个点连通好图个数，那么有 \(f_n=2g_n(n\ge 2)\)。

那么另一个等式又该怎么列呢？由于无标号不能直接无脑 \(\ln\)，我们必须得另寻其道。考虑这个我脑瘫了没想到的套路：我们枚举一个连通块的点数 \(k\)，再枚举其中每一个含有 \(k\) 个点的连通好图，然后我们考虑用了多少个这样的连通块，由于无标号，所以此处应用 OGF 而不是 EGF，写成生成函数的形式就是 \(F(x)=\prod\limits_{k\ge 1}(\sum\limits_{i\ge 0}x^{ik})^{g_k}\)，其中 \(f\) 为 \(F\) 的 OGF。简单变换一下可得 \(F(x)=\prod\limits_{k\ge 1}(\dfrac{1}{1-x^k})^{g_k}\)。

我们看这个连乘非常不爽，套路化 \(\ln\)。

\[\ln F(x)=\sum\limits_{k\ge 1}-g_k\ln(1-x^k) \]

到这里你可能会拆 \(\ln(1-x^k)\)，但正解并不是这么处理的，而是将等式两边同时求导，得

\[\dfrac{F'(x)}{F(x)}=\sum\limits_{k\ge 1}g_k\dfrac{kx^{k-1}}{1-x^k} \]

\[F'(x)=F(x)\sum\limits_{k\ge 1}kg_k·\dfrac{x^{k-1}}{1-x^k} \]

\[(n+1)f_{n+1}=\sum\limits_{i=0}^nf_n·[x^{n-i}]H(x) \]

其中 \(H(x)=\sum\limits_{k\ge 1}kg_k\dfrac{x^{k-1}}{1-x^k}\)

注意到 \([x^n]\dfrac{x^{k-1}}{1-x^k}=[n\equiv k-1\pmod{k}]\)，于是有

\[(n+1)f_{n+1}=\sum\limits_{i=0}^nf_n\sum\limits_{k\mid n-i+1}kg_k \]

注意到右边 \(\sum\) 拆出来会有个 \((n+1)g_{n+1}\)，减掉可以有

\[(n+1)g_{n+1}=\sum\limits_{i=0}^nf_n\sum\limits_{k\mid n-i+1,k\le n}kg_k \]

递推即可，推出来一个 \(g_k\) 就暴力更新 \(h_n=\sum\limits_{k\mid n}kg_k\)。

时间复杂度 \(n^2\)，常数那么小且 \(n\) 只有 \(2\times 10^4\)，你瞧不起谁呢？半在线卷积，狗都不写（

typedef __int128_t i128;
const int MAXN = 23333;
int mod, f[MAXN + 5], g[MAXN + 5], sum[MAXN + 5];
int qpow(int x, int e) {
	int ret = 1;
	for (; e; e >>= 1, x = 1ll * x * x % mod)
		if (e & 1) ret = 1ll * ret * x % mod;
	return ret;
}
void init(int n) {
	f[0] = f[1] = g[1] = g[2] = 1; f[2] = 2;
	for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i]++;
	for (int i = 2; i <= n; i += 2) sum[i] += 2;
	for (int i = 3; i <= n; i++) {
		i128 s = 0;
		for (int j = 0; j < i; j++) s += 1ll * f[j] * sum[i - j];
		g[i] = s % mod * qpow(i, mod - 2) % mod;
		f[i] = 2 * g[i] % mod;
		for (int j = i; j <= n; j += i) sum[j] = (sum[j] + s) % mod;
	}
}
int main() {
	int qu; scanf("%d%d", &qu, &mod); init(MAXN);
	while (qu--) {int n; scanf("%d", &n); printf("%d\n", f[n]);}
	return 0;
}