洛谷 P5206 - [WC2019]数树（集合反演+NTT）
神仙多项式+组合数学题，不过还是被我自己想出来了（
首先对于两棵树 \(E_1,E_2\) 而言，为它们填上 \(1\sim y\) 使其合法的方案数显然是 \(y\) 的 \(E_1\cap E_2\) 的连通块次方，又显然 \(E_1,E_2\) 的导出子图是一棵森林，因此 \(E_1\cap E_2\) 连通块个数就是 \(n-|E_1\cap E_2|\)，因此我们要求的答案就是 \(\sum\limits_{E_1}\sum\limits_{E_2}y^{n-|E_1\cap E_2|}\)。
考虑对三个 subtask 分别讨论一下，首先是 \(op=0\)，这个就非常 trivial 了，直接暴力用个 set 或 map 之类的东西求解两棵树的交集，白送 6pts（对于非 jxd 选手就白送了 28pts）。
namespace sub0{
map<int,bool> vis[MAXN+5];
void solve(){
int sum=0;
for(int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),vis[min(u,v)][max(u,v)]=1;
for(int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),sum+=vis[min(u,v)][max(u,v)];
printf("%d\n",qpow(y,n-sum));
}
}
接下来考虑 \(op=1\) 的情况，注意到这里涉及 \(E_1\) 与 \(E_2\) 的交集，而这是不太好直接枚举的，因此考虑按照 LOJ #3399 的讨论进行集合反演，即根据公式 \(f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}f(T)\sum\limits_{T\subseteq S'\subseteq S}(-1)^{|S'|-|T|}\)，枚举 \(S\subseteq E_1\cap E_2\)，再枚举 \(S\subseteq T\subseteq E_1\cap E_2\)，这样我们就可以像莫比乌斯反演那样枚举所有满足 \(T\) 是 \(E_2\) 边集的一个子集的 \(E_2\)，具体来说，
其中 \(g(T)=\sum\limits_{E_2}[T\subseteq E_2]\)，也就是有多少棵树 \(E_2\) 满足 \(T\) 是 \(E_2\) 的子集。根据我们幼儿园就学过的结论，\(g(T)=n^{k-2}\prod\limits_{i=1}^ka_i\)，其中 \(k\) 为 \(T\) 形成的连通块个数，\(a_1,a_2,\cdots,a_k\) 分别表示 \(T\) 形成的 \(k\) 个连通块的大小。推到这里，式子似乎已经无法继续再化下去，因此考虑组合意义，具体来说我们可以将考虑这样这一个过程：我们在树上选出若干条边，每选出一条边权值乘上 \(\dfrac{1-y}{y}\)，然后在这些边组成的每个连通块中放上一个球，每放上一个球权值乘上 \(n\)，最后所有方案的权值之和乘上 \(\dfrac{y^n}{n^2}\) 就是答案。
考虑树形 DP，\(dp_{i,0/1}\) 表示目前考虑了 \(i\) 的子树，目前 \(i\) 所在的连通块是否放上了一个球（\(0/1\)）的所有放置方案的权值之和，合并两个子树 \(x,y\)，其中 \(x\) 是 \(y\) 的父亲时就分 \(x\) 所在的连通块原来是否放上一个球，以及 \(x,y\) 之间的边是否被选择即可。
时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)
namespace sub1{
int hd[MAXN+5],to[MAXN*2+5],nxt[MAXN*2+5],ec=0,coef,ivn;
void adde(int u,int v){to[++ec]=v;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
int dp[MAXN+5][2],tmp[2];
void add(int &x,int v){((x+=v)>=MOD)&&(x-=MOD);}
void dfs(int x,int f){
dp[x][0]=1;dp[x][1]=n;
for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
int y=to[e];if(y==f) continue;dfs(y,x);
memset(tmp,0,sizeof(tmp));
for(int p=0;p<2;p++) for(int q=0;q<2;q++)
if(!(p&q)) add(tmp[p|q],1ll*dp[x][p]*dp[y][q]%MOD*coef%MOD);
for(int p=0;p<2;p++) add(tmp[p],1ll*dp[x][p]*dp[y][1]%MOD);
for(int p=0;p<2;p++) dp[x][p]=tmp[p];
} //for(int i=0;i<2;i++) printf("%d %d %d\n",x,i,dp[x][i]);
}
void solve(){
for(int i=1,u,v;i<n;i++) scanf("%d%d",&u,&v),adde(u,v),adde(v,u);
coef=(MOD-1ll*(y-1)*qpow(y,MOD-2)%MOD)%MOD;dfs(1,0);
// printf("%d %d\n",coef,ivn);
printf("%d\n",1ll*dp[1][1]*qpow(y,n)%MOD*qpow(n,MOD-3)%MOD);
}
}
最后是 \(op=2\) 的情况，此时两棵树都没有给定，不过我们还是可以套用集合反演公式枚举上文中的 \(T\)，类似地有
直接枚举 \(T\) 显然是不行的。考虑枚举 \(T\) 中连通块的个数 \(k\)，这样可以得到：
其中 \(h(a_1,a_2,\cdots,a_k)\) 表示有多少个森林满足其每个连通块的大小分别为 \(a_1,a_2,\cdots,a_k\)。考虑怎么求 \(h(a_1,a_2,\cdots,a_k)\)，首先我们选出这 \(k\) 连通块的点集，方案数可以写成一个多重组合数的形式，即 \(\dbinom{n}{a_1,a_2,\cdots,a_k}=\dfrac{n!}{a_1!a_2!\cdots a_k!}\)，其次这 \(k\) 个连通块任意排列得到的图都是相同的，方案数除以 \(k!\)，再其次，每个连通块中连边方案为 \(\prod\limits_{i=1}^ka_i^{a_i-2}\)，因此
带回去：
化简一下：
如果我们设 \(F(x)=\sum\limits_{n\ge 0}\dfrac{n^n}{n!}x^n\)，那么不难发现后面的 \(\sum\) 可以写成
不难发现 \(k=0\) 和 \(k>n\) 时贡献都是 \(0\)，因此如果设 \(G(x)=\dfrac{y}{1-y}·n^2·F(x)\)，那么式子可写作
然后我们发现这就是
于是 \(ans=\dfrac{y^nn!}{n^4}·(\dfrac{1-y}{y})^n·[x^n]\exp G\)，多项式 \(\exp\) 一下即可，时间复杂度 \(n\log n\)。
namespace sub2{
const int pr=3;
const int ipr=332748118;
const int MAXP=1<<19;
int rev[MAXP+5],inv[MAXP+5],fac[MAXP+5],ifac[MAXP+5];
void init_fac(int n){
for(int i=(fac[0]=ifac[0]=inv[0]=inv[1]=1)+1;i<=MAXP;i++) inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD,ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%MOD;
}
void NTT(vector<int> &a,int len,int type){
int lg=31-__builtin_clz(len);
for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<lg-1);
for(int i=0;i<len;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int i=2;i<=len;i<<=1){
int W=qpow((type<0)?ipr:pr,(MOD-1)/i);
for(int j=0;j<len;j+=i){
for(int k=0,w=1;k<(i>>1);k++,w=1ll*w*W%MOD){
int X=a[j+k],Y=1ll*w*a[(i>>1)+j+k]%MOD;
a[j+k]=(X+Y)%MOD;a[(i>>1)+j+k]=(X-Y+MOD)%MOD;
}
}
} if(!~type){
int ivn=qpow(len,MOD-2);
for(int i=0;i<len;i++) a[i]=1ll*a[i]*ivn%MOD;
}
}
vector<int> conv(vector<int> a,vector<int> b){
int LEN=1;while(LEN<a.size()+b.size()) LEN<<=1;
a.resize(LEN,0);b.resize(LEN,0);NTT(a,LEN,1);NTT(b,LEN,1);
for(int i=0;i<LEN;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
NTT(a,LEN,-1);return a;
}
vector<int> conv(vector<int> a,vector<int> b,int mxl){
int LEN=1;while(LEN<a.size()+b.size()) LEN<<=1;
a.resize(LEN,0);b.resize(LEN,0);NTT(a,LEN,1);NTT(b,LEN,1);
for(int i=0;i<LEN;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
NTT(a,LEN,-1);while(a.size()>mxl) a.ppb();return a;
}
vector<int> getinv(vector<int> a,int len){
vector<int> b(len);b[0]=qpow(a[0],MOD-2);
for(int i=2;i<=len;i<<=1){
// printf("inv %d\n",i);
vector<int> c(a.begin(),a.begin()+i);
vector<int> d(b.begin(),b.begin()+i);
d=conv(d,d);c=conv(c,d);
for(int j=0;j<i;j++) b[j]=(2ll*b[j]-c[j]+MOD)%MOD;
} return b;
}
vector<int> direv(vector<int> a,int len){
vector<int> b(len);
for(int i=1;i<len;i++) b[i-1]=1ll*a[i]*i%MOD;
return b;
}
vector<int> inter(vector<int> a,int len){
vector<int> b(len);
for(int i=1;i<len;i++) b[i]=1ll*a[i-1]*inv[i]%MOD;
return b;
}
vector<int> getln(vector<int> a,int len){
// printf("%d\n",len);
vector<int> b=getinv(a,len),_b=direv(a,len);
b=conv(b,_b);b=inter(b,len);return b;
}
vector<int> getexp(vector<int> a,int len){
vector<int> b(len);b[0]=1;
for(int i=2;i<=len;i<<=1){
// printf("exp %d\n",i);
vector<int> c(b.begin(),b.begin()+i);
vector<int> d(b.begin(),b.begin()+i);
d=getln(d,i);
for(int j=0;j<i;j++) d[j]=(a[j]-d[j]+MOD)%MOD;
d[0]=(d[0]+1)%MOD;d=conv(c,d);
for(int j=0;j<i;j++) b[j]=d[j];
} return b;
}
void solve(){
if(y==1) return printf("%d\n",1ll*qpow(n,MOD-3+n)*qpow(n,MOD-3+n)%MOD),void();
init_fac(MAXP);
int LEN=1;while(LEN<=n) LEN<<=1;vector<int> vec(LEN);
int coef=1ll*n*n%MOD*y%MOD*qpow((1-y+MOD)%MOD,MOD-2)%MOD;
for(int i=1;i<LEN;i++) vec[i]=1ll*coef*qpow(i,i)%MOD*ifac[i]%MOD;
// for(int i=0;i<LEN;i++) printf("%d\n",vec[i]);
// puts("-1");
vec=getexp(vec,LEN);
// for(int i=0;i<LEN;i++) printf("%d\n",vec[i]);
printf("%d\n",1ll*qpow(n,MOD-5)%MOD*vec[n]%MOD*qpow((1-y+MOD)%MOD,n)%MOD*fac[n]%MOD);
}
}
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