Codeforces 1662J - Training Camp

这种数据范围和题目特点一眼网络流。

对于一种选法，我们考虑建立两个黑白矩阵，如果一个点 \((i,j)\) 被选，我们就将第 \(i\) 行中 \(a_{i,k}\le a_{i,j}\) 的 \((i,k)\) 在第一张网格图中染成黑色，将第 \(j\) 列中 \(a_{k,j}\le a_{i,j}\) 的点 \((k,j)\) 在第二张网格图中染成黑色，那么一种选择方法合法当且仅当两张图颜色完全相同。

考虑将“黑白”对应成与源汇的连接情况。将黑点看作与 \(S\) 相连，白点看成与 \(T\) 相连。然后考虑这样建模：

• \((S,(i,j),\infty)(a_{i,j}=1)\)
• \(((i,n+1),T,\infty),((n+1,i),T,\infty)\)。
• \(((i,rpos_{i,v+1}),(i,rpos_{i,v}),\infty),((cpos_{i,v+1},i),(cpos_{i,v},i),\infty)\)，其中 \(rpos_{i,v}\) 表示使得 \(a_{i,j}=v\) 的 \(j\)，\(cpos_{i,v}\) 表示使得 \(a_{j,i}=v\) 的 \(j\)，其中 \(rpos_{i,n+1}=cpos_{i,n+1}=n+1\)。
• \(((i,rpos_{i,v}),(i,rpos_{i,v+1}),1-c_{i,rpos_{i,v}})\)，割掉这条边表示第 \(i\) 行选择 \((i,rpos_{i,v})\)。
• \(((i,rpos_{i,a_{i,j}+1}),(cpos_{j,a_{i,j}+1},j),\infty),((cpos_{j,a_{i,j}+1},j),(i,rpos_{i,a_{i,j}+1}),\infty)\)。

然后 \(n\) 减最小割就是答案。

考虑这样做为什么是对的。前三个限制显然保证了每一行、每一列中，与 \(S\) 相连的点的 \(a\) 是一段前缀，第四个限制与代价相关也能保证代价的计算方式是正确的并且最优方案就是这张图里代价最小的方案。但是如果去掉第五条，那么会出现一种可能的情况是你选择了 \((i,j)\)，由于代价那边是按照 \(rpos\) 连的，因此第 \(i\) 行黑点和白点的分界线确实是 \(a_{i,j}\)，但是第 \(j\) 列可能黑点和白点的分界线不是 \(a_{i,j}\)，是一个比 \(a_{i,j}\) 更大的位置，如果出现这种情况，那么第 \(j\) 列值为 \(a_{i,j}+1\) 的位置就是黑点。加上第五条就严格避免了这种情况。

const int MAXN=128;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,a[MAXN+5][MAXN+5],c[MAXN+5][MAXN+5];
int getid(int x,int y){return (x-1)*(n+1)+y;}
int posr[MAXN+5][MAXN+5],posc[MAXN+5][MAXN+5];
namespace MaxFlow{
	const int MAXV=2e4;
	const int MAXE=1e6;
	int S=19999,T=20000,hd[MAXV+5],to[MAXE+5],cap[MAXE+5],nxt[MAXE+5],ec=1;
	void adde(int u,int v,int f){
		to[++ec]=v;cap[ec]=f;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;
		to[++ec]=u;cap[ec]=0;nxt[ec]=hd[v];hd[v]=ec;
	}
	int dep[MAXV+5],now[MAXV+5];
	bool getdep(){
		memset(dep,-1,sizeof(dep));queue<int>q;q.push(S);dep[S]=0;
		while(!q.empty()){
			int x=q.front();q.pop();now[x]=hd[x];
			for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
				int y=to[e],z=cap[e];
				if(z&&!~dep[y])dep[y]=dep[x]+1,q.push(y);
			}
		}return ~dep[T];
	}
	int getflow(int x,int f){
		if(x==T)return f;int ret=0;
		for(int &e=now[x];e;e=nxt[e]){
			int y=to[e],z=cap[e];
			if(z&&dep[y]==dep[x]+1){
				int w=getflow(y,min(f-ret,z));
				cap[e]-=w;cap[e^1]+=w;ret+=w;
				if(f==ret)return ret;
			}
		}return ret;
	}
	int dinic(){int ret=0;while(getdep())ret+=getflow(S,INF);return ret;}
}using namespace MaxFlow;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&a[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&c[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)posr[i][a[i][j]]=j,posc[j][a[i][j]]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)posr[i][n+1]=posc[i][n+1]=n+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(a[i][j]==1)adde(S,getid(i,j),INF);
	for(int i=1;i<=n;i++)adde(getid(n+1,i),T,INF),adde(getid(i,n+1),T,INF);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){
		adde(getid(i,posr[i][j+1]),getid(i,posr[i][j]),INF);
		adde(getid(posc[i][j+1],i),getid(posc[i][j],i),INF);
		adde(getid(i,posr[i][j]),getid(i,posr[i][j+1]),c[i][posr[i][j]]^1);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){
		adde(getid(i,posr[i][a[i][j]+1]),getid(posc[j][a[i][j]+1],j),INF);
		adde(getid(posc[j][a[i][j]+1],j),getid(i,posr[i][a[i][j]+1]),INF);
	}
	printf("%d\n",n-dinic());
	return 0;
}