递归基础

递归基础

给小朋友讲课，被这两题小卡了一下啊，真的是蒟蒻啊...

1、数的计算

题目大意：

对一个数n（n<=1000）做以下操作：

1、不做处理

2、在左边加上一个数，该数字小于等于其右边的一半

3、加上数后继续第二步，直到加不了数为止

问能构造出多少这样的数字

思路：

以6为例子，6自己本身算一个；6可以分成16，26，36 ；26可以变成126 ；36可以变成136。就是说对于每一位数字x，我们需要知道1~x//2能构造多少种。于是有以下解法：

ll dfs(ll x){
	if(x == 1) return 1 ;
	
    ll res = 1 ;
	for(int i = 1 ; i <= x / 2 ; i ++ )
		res += dfs(i) ;//搜索 1~x/ 2有几种 
	
    return res ;
} 

但是n会到1000，而我们对每一个数都会去搜索一遍，存在着大量的重复冗余操作。会导致时间复杂度爆炸。于是需要记忆化搜索。注意到以上代码，dfs（x）时，返回值是res，而做完搜索后res就直接丢掉了，下次如果还要搜索x就要再做一次。这就是导致冗余操作的原因。所以只要在做完搜索后把res存起来就不用多次搜索同一个值了。

ll dp[N] ; 
ll dfs(ll x){
	if(dp[x]) return dp[x] ;//搜索已经搜过的值时直接访问dp数组
	
    dp[x] = 1 ;
	for(int i = 1 ; i <= x / 2 ; i ++ )
		dp[x] += dfs(i) ;//搜索1~x/2有几种 
	
	return dp[x] ;
}

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2、分解因数

题目大意：

给定一个正整数x，要将其分成x = a1*a2*a3...的形式并且a1~an非递减

思路：

遍历从2到根号x的所有因子然后向下搜索，注意非递减条件，所以要知道他前一个因子是多少,我们选择的下一个因子要大于等于他。

ll ans ;
void dfs(ll pre , ll x){//debug ;
	for(int i = 2 ; i * i <= x ; i ++ ){
		if(x % i == 0 && pre <= i){
			ans ++ ;
			dfs(i , x / i) ; 
		}
	}

}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false) ;
	
	cin >> n ;
	while(n -- ){
		ll m ; ans = 0 ;
		cin >> m ;
		dfs(0 , m) ;
		cout << ans + 1 << "\n" ;
	}
	
}