板刷 ARC 记录

所有不会做以及 \(\text{rating}\ge2400\)。

ARC114C \(\text{Easy*}\)

对于 \(1\le i<j\le n\)，计算 \((i,j)\) 的贡献，发现 \((i,j)\) 有贡献当且仅当 \(a_i=a_j\)，且存在 \(k\in[i+1,j-1]\) 使得 \(a_k<a_i\)。可以枚举 \(a_i\) 的取值计算。注意到若 \(j-i=x-y\)，则 \((i,j)\) 和 \((x,y)\) 贡献相等，所以只用计算 \(\Theta(n)\) 次。总复杂度 \(\Theta(nm)\)。

ARC114D \(\text{Easy}\)

考虑对答案序列取异或差分。问题转化为你有 \(n\) 个机会 \(x_i\)（必须使用），使得一个位置 \(p_i\) 异或 \(1\)，代价为 \(|x_i-p_i|\)。给定目标为 \(1\) 的位置有 \(m\) 个，其他位置目标为 \(0\)。最小化代价。若 \(n=m\)，对 \(x,p\) 排序后让 \(x_i\) 匹配 \(p_i\) 是不劣的。若 \(m>n\) 显然无解，若 \(m<n\)，可以选择 \(2k\) 个机会放弃，然后相邻匹配抵消。可以 dp 解决。

ARC114E \(\text{Medium*}\)

根据期望的线性性，答案等于每条直线被切割的概率。考虑补全操作序列（相当于假设割的直线没有限制，只是如果不合法就不产生贡献），发现一条直线有贡献相当于钦定若干条直线在这条直线之前出现。设有 \(k\) 条这样的直线，那么发生的概率是 \(\frac{1}{k+1}\)，直接计算即可。

ARC114F \(\text{Hard}\)

Bob 显然会按段的开头从大到小排序。答案不可能优于原排列 \(p\)，所以尝试最大化 \(q\) 和 \(p\) 的 \(\text{LCP}\)。考虑二分答案 \(len\)。问题可以看作是可以花费 \(1\) 代价将 \(i\) 拼接到 \(i-1\) 之后，最小化代价。考虑 \(>len\) 的部分的拼接情况。首先，对于所有 \(a_i>a_1\)，\(i\) 必须和 \(i-1\) 拼接。除此之外，剩下的拼接的目的只是减少 \(\le len\) 部分的拼接。设最终 \(\le len\) 部分 \(p_1,p_2,...,p_k\) 没有拼接，那么 \(p_i\) 显然递降，且不存在大于 \(p_k\) 的位于 \(>len\) 部分的未拼接位置。所以 \(>len\) 部分只会拼接值域上一个后缀。枚举后缀长度，然后相当于在前缀部分激活位置，求 \(\text{LDS}\)。调换值域和位置，相当于末尾加入数，求 \(\text{LIS}\)。求出最长 \(\text{LCP}\) 后，尽可能把拼接用在 \(>len\) 部分即可。>

ARC118D \(\text{Easy}\)

注意到如果图联通，删去一些边后图变成一个网格图，且大小为偶数。网格图上哈密顿回路是容易找到的。

ARC118E \(\text{Medium*}\)

考虑对于路径 \(S\) 求 \(f(S)\) 表示所有与路径不相交的排列的个数。考虑容斥，设有 \(m\) 个位置未确定，钦定 \(k\) 个位置 \((i,p_i)\)，贡献为 \((-1)^k\times(m-k)!\)。定义 \(f_{i,j,k,x,y}\) 表示路径走到 \((i,j)\)，已经钦定 \(k\) 个位置，当前行/列是否有被钦定的点。复杂度 \(O(n^3)\)。

ARC118F \(\text{Hard*}\)

正着做发现转移中带有下取整，难以处理，考虑倒着做。设 \(f_{i,v}\) 表示若 \(X_i=v\)，\(X_i,X_{i+1},...,X_n\) 的方案数。转移 \(f_{i,v}=\sum\limits_{j=i}^{v A_i} f_{i+1,j}\)。设 \(s_{i,v}\) 为 \(f_{i,v}\) 的前缀和，则 \(f_{i,v}=s_{i+1,vA_i}-s_{i+1,v-1}\)，考虑 \(s_{i,v}\) 有值的部分是一个至多 \(n+1\) 次的多项式，直接拉格朗日插值即可。注意到 \(A_i\neq 1\) 的位置只有至多 \(O(\log V)\) 个，只需要对于这些位置做拉格朗日插值即可。复杂度 \(O(n^2\log V)\)。

ARC131F \(\text{Hard*}\)

ARC130E \(\text{Medium}\)

ARC193C \(\text{Hard*}\)

ARC149E \(\text{Medium*}\)

ARC121D \(\text{Medium}\)

ARC121E \(\text{Easy}\)

ARC121F \(\text{Easy}\)

ARC149D \(\text{Medium*}\)

ARC158D \(\text{Medium*}\)