数据结构（二）

桶的惰性清空

在加入桶时附带这次的时间标记。

如果发现此时的标记和这个桶上的标记不同，则清除桶的内容。

常数会减小。类比可以得到数据结构清空方式。

历史和问题

方法一：设计时间标记，每次访问一个节点后，把缺少的这段时间的贡献加上，然后让这个节点的时间和全局同步。

方法二：设计时间流逝标记，每次时间流逝时，在全局打一个标记，时间流逝标记要支持下传。

相对来讲第二种方法更为无脑，但是第一种方法更通用一些。

Segment Tree Beats

吉司机线段树。区间对 \(x\) 取 \(\max\)，区间和。

记录线段树节点的最小值 \(mn\)，次小值 \(se\)，分类讨论：

• 若 \(x\le mn\)，直接结束递归。
• 若 \(mn<x\le se\)，只更改 \(mn\) 一个数后结束递归。
• 若 \(se<x\)，继续递归。

如果只有这两个操作时间复杂度就是 \(O(n\log n)\) 的，证明就是向下递归对应一次值域合并。

如果多一些奇怪的操作，时间复杂度可能会变化。比如加上区间加以后会变成 \(O(n\log^2 n)\)，怎么卡在 APIO 课件里。

可持久化

每次修改时，新建一个版本代表变化。每次查询版本时，尽可能借用其他版本的信息。

其实一切东西也就只是可持久化数组而已。但是注意势能分析的复杂度是不可以平凡可持久化的，比如 LCT。

当然可以改可持久化方式，不过没啥应用场景。

稍微比较有意思的就是可持久化单调栈，但是没什么人提到这个数据结构。

插入-标记-回收

用于离线解决区间 \([l,r]\) 的函数复合问题。

在 \(l\) 处插入 \(x\)，在每个位置对目前所有的 \(x\) 做统一变换，然后再在 \(r\) 处收回。是一个很平凡的东西。

例题：澡堂。

FHQ-Treap

每个点有随机权值 \(w_i\)，要求键值 \(v_i\) 满足二叉搜索树的限制，\(w_i\) 满足堆的限制。

FHQ-Treap 基于分裂。分裂时只需要按照键值把一整颗树分开，合并时根据 \(w_i\) 合并即可。

FHQ-Treap 可以打标记，分裂时先下传标记再分裂，合并时先把被合并节点下传标记再合并。分裂以后需要重新 pushup，合并也需要一次 pushup，讨论一下就好了。

有交并

如果没有奇怪的分裂操作，那么有交并和线段树合并一样，是自然的，怎么写都没啥问题。

如果有复制或者复用操作，那基本就别想对了，应该很好卡。

否则，考虑按照两棵树组成的连续段数为复杂度合并。

把合并后的所有键值排序后得到：\(\mathtt{ABBABBAAA}\) 有 \(5\) 个连续段，其中 \(\mathtt{A}\) 表示这个键值来自第一棵树。需要处理键值相同的情况，这点我们稍后再做讨论。

额，我本来想写个证明，但是我有点懒，先鸽了。

总之算法就是把优先级较大的根作为基准，然后把另一棵树按照这个基准分裂，然后两侧分别合并到左子树和右子树上。如果存在和基准相同的数，要用并查集把这个点和根合并到一起。

例题：TEST_176。

莫队

按 \(B\) 分块后，把询问按 \(l\) 所在的块编号为第一关键字，按 \(r\) 为第二关键字排序。

根据排序结果，移动指针以达到这次的 \((l,r)\)。这要求你可以通过 \([l,r]\) 的答案 \(O(1)\) 推到 \([l,r+1],[l-1,r],[l,r-1],[l+1,r]\) 这四个位置的答案。

第一，不一定要是区间才能使用这个技巧。实际上只要是若干个指针就可以。更深刻的，其实是在高维空间里的游走：每次走到相邻的整点，要求以某个顺序遍历所有点。

回滚莫队是只允许加入和撤销的莫队，撤销这个操作其实很弱，只要不是均摊就可以。

线段树分治

cxl 论文：线段树分治是时间维上的区间对偶范围的不删除莫队。

当然我们可以尝试着懂一下这个东西。

不删除莫队：只使用加入和撤销操作维护一个集合。

对偶范围：\(m\) 种修改的范围是 \(S_1,S_2,...,S_m\)，\(n\) 个点中第 \(i\) 个点的对偶范围为 \(\{j|i\in S_j\}\)。也就是包含这个点的修改的集合。

线段树分治处理的问题离线后，问题变成：在时间区间 \([tl,tr]\) 中添加元素 \(x\)。

解决的 \(T\) 个问题都是区间对偶范围内的所有元素的问题。并且不允许使用删除。

我没看懂原型 RT 树，如果看懂了就放“数据结构（一）”里。

ST 表

常用的 ST 表有两种：第一种用于查询，第二种用于修改。

要求运算有 \(x\oplus x=x\) 的性质，所以应用范围比较窄。

分别可以做区间取 \(\min\)，求最后序列和给定序列，查询区间 \(\min\) 两种问题。

复杂度 \(O(q+n\log n)\)。

颜色段均摊

用于解决区间赋值：赋值以后整个区间的颜色变成相同的，有势能。

写一个 set，set 上每个点表示当前颜色段的左端点。赋值时可能会加入 \(l,r+1\) 两个点，并删除 \([l,r]\) 内所有点。注意，你需要把相同的颜色合并。

可以用 mutable 这样的技巧，也可以用指针指向可修改的元素或数组。

整体加响应到局部加

设 \(\mathrm{ltag}_u\) 表示应有的整体加，设 \(\mathrm{utag}_v\) 表示已经被响应的局部加，每次对 \(v\) 做 pushdown，则响应 \(\mathrm{ltag}_u-\mathrm{utag}_v\) 的局部加，\(\mathrm{utag}_v=\mathrm{ltag_u}\)。

和桶的惰性清空本质上是一样的。

虚树

虚树。

有两种构建方式，二次排序法和单调栈法。

点分治

点分治分为四个步骤：

• 找到当前连通块的重心。在得知连通块大小的前提下，需要跑一遍 dfs。否则需要跑两遍。
• 从重心开始 dfs，并求出 dfn 和 siz。
• 使用 dfn 完成后续操作。
• 删去重心，用 siz 得知每个分出来的连通块的大小，递归。

点分树

对于特定点到根的查询，dfn 不好存。查询至少要 log。

好的方法：把每个分治中心 push_back 到它所在的连通块内的所有点即可。

树套树

离线版树套树：树状数组套树状数组，先把每个小树状数组里可能有值的位置找出来，离散化，查询和修改时二分，空间复杂度 \(O(n\log n)\)。

不推荐：树状数组套树状数组，并用 unordered_map 存值。unordered_map 的常数大到可以看作 \(O(\log n)\)。实际上手写哈希表也不推荐。

树状数组套平衡树最保险。

重链剖分

主要有两点：一个点到根的轻边数量是 \(O(\log n)\) 的，轻子树大小和是 \(O(n\log n)\) 的。

长链剖分

dp 状态和深度有关时可以考虑长链剖分。

所有长链长度的和为 \(n\)，这是显然的，关键在于一条长链可以容纳几乎所有 dp 信息（大于子树高度的 dp 信息较少，通常为 \(0\) 或 \(1\)）。

写法是 dfs 序。枚举一条长链时，从链顶的 dfs 序往后枚举即可。

小数据结构

小数据结构很好用。例子：点分树时，你要求到根 \(\le d\) 的信息，看成先做若干个单点加，再做若干个前缀查。

开一个数组，维护指针 \(l,r\) 表示这个小数据结构在数组上对应的区间，单点加时扩容，单点加后做一遍前缀和并更新当前占用的空间，前缀查时简单查。这样就写了一个简单但是功能清晰的小数据结构。

线性 RMQ

对序列按 \(w\) 分块，每块求出最大值，块内求出前缀最大值和后缀最大值。对于 \(n/w\) 个数建 ST 表。如果跨块就可以直接求出答案。问题在于块内。

对于一个块 \([l,r]\)，块内对于每个 \(i\) 存一个 \(w\) 位整数表示考虑了 \(l\le x\le i\) 的所有数后建立的单调栈（单调递减）有哪些数在。查询时看 \(R\) 处的单调栈，在 \(L\) 右侧第一个 \(1\) 的位置。位运算即可。

如果不是 RMQ，比如是查询按位或，块内可以暴力，复杂度是 \(O(n\sqrt{\log n})\) 的，有一个 \(1/2\) 的常数。