P14170 二分图最大匹配期望 学习笔记

首先判断二分图是否具有完美匹配可以使用 Hall 定理。复习一下：其形态为对于所有 \(S\) 有 \(|S|\le |N(S)|\)。

考虑钦定代表元，对于 \(|N(S)|<|S|\) 的图，钦定集合 \(S\) 为使得 \(|S|-|N(S)|\) 最大的集合中 \(|S|\) 最小的为代表元。

接下来开始 dp。状态如下：

• \(f_{S,T}\) 要求为 \(N(S)=T,|T|\ge |S|\)。意义为满足要求且有完美匹配的概率。
• \(g_{S,T}\) 要求为 \(N(S)=T,|T|<|S|\)。意义为满足要求且 \((S,T)\) 作为代表元的概率。
• \(c_{S,T}\) 表示 \(N(S)=T\) 的概率。
• \(e_{S,T}\) 表示 \(S\) 和 \(T\) 之间无边的概率。

转移如下：

\[f_{S,T}=c_{S,T}-\sum_{S'\subsetneq S}\sum_{T'\subsetneq T} g_{S',T'}e_{S',T/T'}f_{S/S',T/T'}\\ g_{S,T}=c_{S,T}-\sum_{S'\subsetneq S}\sum_{T'\subsetneq T}[|S'|-|T'|\ge |S|-|T|] g_{S',T'}e_{S',T/T'}f_{S/S',T/T'} \]

显然 \(f,g\) 对同一组 \((S,T)\) 只有一个有值，可以共用数组。时间复杂度 \(O(9^n)\)。