由祖冲之圆周率洞悉——古中国数学家的计算力真是惊人
现代数学是建立在公理化的体系之上,可以认为是形而上学。公理化是数学的本质所在,古代中国人建立过数学的辉煌,但是却似乎并没有去思考数学的本质,而古希腊的《几何原本》是人类有史以来记载的最早数学往公理化方向努力,尽管《几何原本》中存在着公理的不完备,证明过程中依然有”想当然“的成分,比如直线上除某点之外的一点(几何原本中并没有公理支持直线上除了某点之外还可以取一点),但是往公理化运行的这个历史意义巨大。
很长时间,我都不太认为古代数学有哪些惊人,只是还知道勾股定理,杨辉三角,以及祖冲之算圆周率等。
今天老婆问我圆周率怎么算的,我就想了想。虽然圆周率可以有一堆无穷级数或者无穷乘积可以表示,我还是选择了用最简单的方式来回答,于是就直接行动起来吧。
选择一个单位圆,x2+y2=1,它的面积就是pi,于是用微积分逼近的方法来做,分成n等分,然后用上和或者下和逼近。当然要考虑精度问题,所以还是用上bc这个任意精度计算器,这个计算器我一直很喜欢使用,一边跟老婆解释一边写程序,程序很快写完。
scale = 12;/*所有计算精度小数点后12位*/ n = 10^6;/*单位圆切200万刀,y轴左右各100万刀*/ pi = 0;/*上和累计初始值为0*/ for(i=0;i<n;i++) { x = i/n;/*x坐标*/ y = sqrt(1-x^2);/*y坐标*/ s = 4*y/n;/*此块上和,4个象限对称4份*/ pi = pi+s;/*累和进去*/ } print "pi = ", pi, "\n";/*最终打印出累和出来的圆周率*/
用bc运行一下,我的虚拟机24秒后有了结果。
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# time bc <2 pi = 3.141594151717 real 0m24.015s user 0m24.006s sys 0m0.008s |
结果并不是很理想,计算精度12位其实只是影响了一点点累和时的精度问题,完全不是祖冲之的3.14159265级别的问题。
于是换条路吧,祖冲之的割圆术应该是对周长的,于是我就分它个215=32768份,成为一个32768边形,边长其实是2*sin(2*pi/32768),我们就来算这个值吧。sin(2x)=2sin(x)*cos(x),因为是锐角,可算出sin(x)=sqrt((1-sqrt(1-cos(2x)*cos(2x)))/2)。
继续用bc来写,
n=13;/*从圆的内接正方形开始,开始对切13次*/ scale=20;/*纪念20位足够*/ s=sqrt(2)/2;/*sin(pi/4)*/ for(i=0;i<n;i++) { s = sqrt((1-sqrt(1-s^2))/2);/*一个个的推*/ } print "pi = ", 4*s*2^n, "\n";/*打印圆周率*/
运行一下,这次对于计算机就很快了,长度法比面积法靠谱,
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# time bc <3 p = 3.14159264877598965760 real 0m0.007s user 0m0.004s sys 0m0.004s |
可是,精度还差那么一点,看来应该多切一刀,把程序中的n改成14,精度符合要求。
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# time bc <3 p = 3.14159265238350561280 real 0m0.005s user 0m0.000s sys 0m0.004s |
这样的开平方运算用手算是很复杂的,参考我的博文《平方根的C语言实现(二) —— 手算平方根的原理》,我无法想像祖冲之如何面对这么复杂的运算的。中国古人虽然可能对于数学的基本原理没有做深层次的考虑(不排除以前考虑过,但资料丢失的可能,毕竟经过了嬴政和刘彻和那么多的朝代),但至少古人的计算能力真的是很让人震撼。