ABC417D

题目

高桥即将收到 \(N\) 份礼物。

高桥有一个名为“情绪值”的非负整数，每收到一份礼物，他的情绪值就会发生变化。每份礼物都有价值 \(P\)、情绪值上升度 \(A\)、情绪值下降度 \(B\) 三个参数，高桥的情绪值会根据这些参数按以下规则变化：

• 当收到的礼物的价值 \(P\) 大于或等于现在的情绪值时，高桥对此礼物感到开心，情绪值增加 \(A\)。
• 当收到的礼物的价值 \(P\) 小于当前情绪值时，高桥对此礼物感到失望，情绪值减少 \(B\)。但是如果高桥原本的情绪值小于 \(B\)，他的情绪值会变为 \(0\)。

第 \(i\,(1 \le i \le N)\) 份收到的礼物的价值为 \(P_i\)、情绪值上升度为 \(A_i\)、情绪值下降度为 \(B_i\)。

有 \(Q\) 个询问，请回答所有询问。在第 \(i\,(1 \le i \le Q)\) 个询问中，给定一个非负整数 \(X_i\)，请回答以下问题：

当高桥最初的情绪值为 \(X_i\) 时，求他收到所有 \(N\) 份礼物后的情绪值。

数据范围

对于 \(100\%\) 的数据保证：

• \(1 \le N \le 10000\)
• \(1 \le P_i \le 500\,(1 \le i \le N)\)
• \(1 \le A_i \le 500\,(1 \le i \le N)\)
• \(1 \le B_i \le 500\,(1 \le i \le N)\)
• \(1 \le Q \le 5 \times 10^5\)
• \(0 \le X_i \le 10^9\,(1 \le i \le Q)\)
• 输入的所有数均为整数。

Slove

暴力做法

对于每个询问，暴力计算每次收到礼物。 复杂度 \(O(N*Q)\), 无法通过

正解

寻找突破口

\(1 \le P_i, A_i, B_i \le 500\,(1 \le i \le N)\)

这三个值太小了， 不正常，从此入手

那么可以发现， 高桥所能达到的最大的情绪值实在当前礼物的 \(P = 500, A = 500\) 且当前高桥的情绪值为 \(500\) 的情况下， 那么在接收这个礼物后，高桥的情绪值就为 \(500+500=1000\)

分类讨论

那么对于每个 \(X\), 存在三种情况

• 这个 \(X\) 极大， 使得对于每个礼物 \(i\), 在接受这个礼物时的情绪值都严格大于这个礼物的价值，那么 \(X\) 就会一直减少。
• 这个 \(X\) 小于最大可能情绪值\(1000\)
• 这个 \(X\) 大于最大可能情绪值\(1000\), 但是在接收礼物的过程中会小于\(1000\)

区分这三种情况，可以预处理出 \(B\) 的前缀和

优化模拟过程

时间开销大的主要原因是很多情况被计算了多次

尝试记录对于接受第一个礼物时，情绪值在 \([0, 1000]\) 的情况，

容易发现， 第一个礼物的情况可以由第二个礼物的情况转移而来， 第二个礼物可以由第三个礼物转移而来

那么明显的 \(dp\) 了， 由于每个礼物的状态都要从下一个礼物的状态转移而来， 那么倒序计算

记从第 \(i\) 个礼物，情绪值为 \(j\) 的情况下，到接受完最后一个礼物的的情绪值为 \(dp[i][j]\)

那么存在两种情况

• 这个情绪值礼物的价值， 那么价值会减少， 即从 \(dp[i][std::max(j - gift[i].b, 0)]\) 转移

• 这个情绪值小于礼物的价值， 那么价值会增加， 即从 \(dp[i][j + gift[i].a]\) 转移

if (j > gifts[i].p) {
    dp[i][j] = dp[i + 1][std::max(j - gifts[i].b, (ll)0)];
}
else {
    dp[i][j] = dp[i + 1][j + gifts[i].a];
}

那么虚拟出第 \(n + 1\) 个礼物, 初始化 \(dp[n+1][j] = j\)

现在解决了两种情况

• 1）这个 \(X\) 极大， 使得对于每个礼物 \(i\), 在接受这个礼物时的情绪值都严格大于这个礼物的价值，那么 \(X\) 就会一直减少。
• 2） 这个 \(X\) 小于最大可能情绪值\(1000\)

还有一种情况没解决

• 3）这个 \(X\) 大于最大可能情绪值\(1000\), 但是在接收礼物的过程中会小于\(1000\)

可以先使用之前计算的 \(B\) 的前缀和， 二分查找第一个接受完小于\(1000\)的礼物，然后转化为情况二解决

 ll val = fread<ll>();
 if (val - preSum[n] > MAX_VAL) {
     printf("%lld\n", val - preSum[n]);
     continue;
 }
 if (val <= MAX_VAL) {
     printf("%lld\n", dp[1][val]);
     continue;
 }
 ll pos = std::lower_bound(preSum + 1, preSum + 1 + n, val - MAX_VAL) - preSum;
 printf("%lld\n", dp[pos + 1][val - preSum[pos]]);

完整代码

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#pragma once
#include <vector>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <numeric>
#include <ctype.h>
#include <cstdarg>
#include <climits>
#include <time.h>
#include <iostream>
#include <stdint.h>

#define _FREAD        true
#define MAX_INF       1e18
#define MAX_NUM_SIZE  35
#define MAXN          (size_t)(1e4+5)
#define MAX_VAL       1000

typedef long long int ll;
typedef unsigned long long int ull;

//快读函数声明
template< typename Type >
inline Type fread(Type* p = nullptr);

//快速输出函数
template<typename Type>
inline void fwrite(Type x);

struct Gift {
    ll p, a, b;
};

Gift gifts[MAXN];
ll preSum[MAXN];
ll dp[MAXN][MAX_VAL + 5];
ll n, q;

int main() {

#ifdef _FREOPEN
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif // _FREOPEN

#ifdef _RUN_TIME
    clock_t start = clock();
#endif // _RUN_TIME

    fread(&n);

    for (size_t i = 1; i <= n; i++) {
        fread(&gifts[i].p), fread(&gifts[i].a), fread(&gifts[i].b);
        preSum[i] = preSum[i - 1] + gifts[i].b;
    }

    for (size_t i = 0; i <= MAX_VAL; i++) {
        dp[n + 1][i] = i;
    }

    for (ll i = n; i >= 1; --i) {
        for (ll j = 0; j <= MAX_VAL; j++) {
            if (j > gifts[i].p) {
                dp[i][j] = dp[i + 1][std::max(j - gifts[i].b, (ll)0)];
            }
            else {
                dp[i][j] = dp[i + 1][j + gifts[i].a];
            }
        }
    }

    fread(&q);

    while (q--) {
        ll val = fread<ll>();
        if (val - preSum[n] > MAX_VAL) {
            printf("%lld\n", val - preSum[n]);
            continue;
        }
        if (val <= MAX_VAL) {
            printf("%lld\n", dp[1][val]);
            continue;
        }
        ll pos = std::lower_bound(preSum + 1, preSum + 1 + n, val - MAX_VAL) - preSum;
        printf("%lld\n", dp[pos + 1][val - preSum[pos]]);
    }


#ifdef _RUN_TIME
    printf("The running duration is not less than %ld ms\n", clock() - start);
#endif // _RUN_TIME
    return 0;
}