Nim 游戏

Nim 游戏

题目介绍

绝顶聪明的 Alice 和 Bob 在玩游戏，地上有 \(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆石头有 \(a_i\) 个，每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取，最后没石子可取的人就输了。

显然对于一个确定的初始石头数，先手必胜或必败是确定的，不存在平局。假如 Alice 是先手，请问在什么条件下 Alice 必胜，在什么条件下 Alice 必败。

大家可以先从一些简单的情况开始分析，例如显然 \(n=1\) 时，先手必胜，\(n=2\) 时若 \(a_1=a_2\) 则先手必败，否则先手必胜。

前置知识

定义一个数 \(x=\sum\limits_{i=0}^{n}a_i\cdot 2^i\) 的二进制表示为 \((a_na_{n-1}a_{n-2}\dots a_0)_2\)，其中 \(a_i\in \{0,1\}\)，显然 \(\forall x\in N\) 都有唯一的二进制表示与之对应。

例如 \(3\) 的二进制表示为 \((11)_{2}\)，\(10\) 的二进制表示为 \((1010)_2\)。

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定义二进制下异或运算为 “\(\oplus\)”，若 \(z=x\oplus y\)，其中 \(x=(a_na_{n-1}\dots a_0)_2\)， \(y=(b_nb_{n-1}\dots b_0)_2\)， \(z=(c_nc_{n-1}\dots c_0)_2\)，则若 \(a_i\) 与 \(b_i\) 均为 \(0\) 或 \(1\) 时 \(c_i\) 为 \(0\)，否则 \(c_i\) 为 \(1\)。

例如 \(x=20=(10100)_2,y=13=(1101)_2\)，则

\[x=(10100)_2 \]

\[y=\ \ (1101)_2 \]

\[z=(11001)_2 \]

可以将异或理解为不进位加法，显然异或运算满足交换律，即 \(x\oplus y=y\oplus x\)，且对于 \(x\neq y\) 有 \(x\oplus y\neq 0,x\oplus x=0\)。

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先来说说 Nim 游戏的答案，令 \(\mathcal{T}=\oplus_{i=1}^n a_i\)，若 \(T=0\) 则先手必败，若 \(T\neq 0\) 则先手必胜。

很神奇不是吗？如何证明呢？

对于 \(\mathcal{T}=0\)，无论如何拿石子，拿完后 \(\mathcal{T}\) 都会变为非 \(0\) 的一个数。具体地，若拿的是第 \(i\) 堆石头，拿完后剩下 \(a_i'\)（\(a_i'<a_i\)） 个石头，则 \(\mathcal{T}'=\mathcal{T}\oplus a_i\oplus a_i'\neq 0\)。

对于 \(\mathcal{T}\neq 0\)，总存在一种方法使得拿一次后 \(\mathcal{T}\) 变为 \(0\)。一种方法如下：若 \(\mathcal{T}\) 最高位为第 \(k\) 位，即 \(\mathcal{T}\) 在第 \(k\) 位为 \(1\)，则一定存在 \(a_i\)，其在第 \(k\) 位为 \(1\)，令 \(a_i'=\mathcal{T}\oplus a_i\) 即可，此时 \(a_i'\) 一定小于 \(a_i\)，且 \(\mathcal{T}'=\mathcal{T}\oplus a_i\oplus a_i'=0\)。

因此若初始时 \(\mathcal{T}\neq 0\)，Alice 可以拿完后让 \(\mathcal{T}'=0\)，无论 Bob 怎么拿，\(\mathcal{T}''\) 都会变为一个非 \(0\) 的数，Alice 再将其变为 \(0\)。如此进行，则总会将石头取完，\(\mathcal{T}=0\)，Bob 没有石头可以取，先手 Alice 必胜。

若 \(\mathcal{T}=0\)，无论 Alice 怎么拿，\(\mathcal{T}'\) 都会变为一个非 \(0\) 的数，回到上面的情况，Alice 必败。

综上 \(T=0\) 则 Alice 必败，\(T\neq 0\) 则 Alice 必胜。