集训队胡策 2024

\(\rm Round\ 1\)

基础 ABC 练习题

首先考虑给定 \(\verb!ABC!\) 和 \(\verb!BCA!\) 的个数如何计数。

设个数分别为 \(x\) 个和 \(y\) 个，\(z=n-x-y\)。

注意到一开始的 \(x\) 个 \(\verb!A!\) 肯定给 \(\verb!ABC!\)，最开始的 \(y\) 个 \(\verb!B!\)，\(z\) 个 \(\verb!C!\) 同理。

分配完每个子序列的第一位之后，第二位也是同理，也就是说，最优的分配方案是固定的，因此对于特殊性质，直接判断即可。

这样就能解决没有 \(\verb!?!\) 的部分，获得高达 \(40\) 分。

考虑有 \(\verb!?!\) 且 \(|S_1|=|S_2|=n+1\) 怎么做，寻找充要条件：

记 \(sum_{o,i}\) 表示 \(s\) 序列前 \(i\) 个数中 \(o\) 的出现次数，记：

\[A=\max sum_{a,i}-sum_{c,i} \]

\[B=\max sum_{b,i}-sum_{a,i} \]

\[C=\max sum_{c,i}-sum_{b,i} \]

合法的充要条件是：\(A+B+C \le n\)。

容易发现至少需要 \(A\) 个 \(\verb!ABC!\)，\(B\) 个 \(\verb!BCA!\)，\(C\) 个 \(\verb!CAB!\)，故必要性显然，完整证明。

对于一般情况，必要条件是：\(x \ge A,y \ge B,n-x-y \ge C,A+B+C \le n\)，同样可以证明是充分的。

直接按照这个 DP 复杂度过高，因此考虑容斥一下，现在我们的要求的是 \(A=x,B=y,C \le z\) 的方案数，二维容斥一下就做完了。