短多项式快速幂

求 \((x^1+x^2+...+x^k)^n\) 的各项系数，要求复杂度 \(\Theta(nk)\)。

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前置知识

• 复合函数 \(f[g(x)]\) 的求导：

  \(f[g(x)]'=f'[g(x)]g'(x)\)

• “左乘右导，右乘左导”：

  \([f(x)g(x)]'=f(x)g(x)'+f(x)'g(x)\)

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做法

设 \(F(x)=x^1+x^2+...x^k\)，那么要求的就是 \(F(x)^k\)。

有 \(F(x)^{k+1}=F(x)^kF(x)\)，两边求导，得到：

\[(k+1)F(x)^kF'(x)=F(x)^kF'(x)+[F(x)^k]'F(x) \]

\[kF(x)^kF'(x)=[F(x)^k]'F(x) \]

我们取出 \(x^n\) 的系数，可以得到：

\[k\sum_{i=0}^n F(x)^k[i] \times F'(x)[n-i]=\sum_{i=0}^n [F(x)^k]'[i] \times F(x)[n-i] \]

\[k\sum_{i=0}^n F(x)^k[i] \times F'(x)[n-i]=\sum_{i=0}^n (i+1) \times F(x)^k[i+1] \times F(x)[n-i] \]

把右边 \(i=n\) 的部分分离出来后，可以得到：

\[k\sum_{i=0}^n F(x)^k[i] \times F'(x)[n-i]-\sum_{i=0}^{n-1} (i+1) \times F(x)^k[i+1] \times F(x)[n-i]=(n+1) \times F(x)^k[n+1] \times F(x)[0] \]

不难发现 \(F(x),F'(x)\) 都是可以预处理的，所以这就是一个 \(F(x)^k\) 各项系数的递推式。

设 \(f_i\) 表示 \(F(x)\) 的各项系数，\(g_i\) 表示 \(F'(x)\) 的各项系数，\(h_i\) 表示 \(F(x)^k\) 的各项系数，那么可以写成：

\[k \sum_{i=0}^n h_i \times g_{n-i} - \sum_{i=0}^{n-1} (i+1) \times h_{i+1} \times f_{n-i}=(n+1) \times h_{n+1} \times f_0 \]

如果 \(f_0=0\)，看起来不能递推，但是可以得到这个式子：

\[\sum_{i=1}^{n-1} i \times h_{i} \times f_{n-i+1}-k \sum_{i=0}^{n-1} h_i \times g_{n-i}=k \times h_n \times g_0-n \times h_n \times f_1 \]

然后又能快乐递推了。

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回到这个问题，如果我们直接递推依然是 \(\Theta(n^2k^2)\) 的，但是这个式子的系数实在是太优美了，随便优化一下就能优化到 \(\Theta(nk)\)。