斯特林数

妈妈生的，这个东西在模拟赛里把我干爆了。

记录一些简单的内容，并不会有超纲的多项式。

第二类斯特林数

\(\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}\) 表示第二类斯特林数，也可记作 \(S(n,k)\)，组合意义是把 \(n\) 个不同元素划分成 \(k\) 个互不区分的子集的方案数。

显然有递推式：

\[S(n,k)=S(n-1,k-1)+k \times S(n-1,k) \]

由于它比较简单，是可以直接算出的：

\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\sum\limits_{i=0}^m\dfrac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)!} \]

直接二项式反演就能证明此公式。

第一类斯特林数

\(\begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix}\) 表示第一类斯特林数，也可记作 \(s(n,k)\)，组合意义是把 \(n\) 个不同元素划分成 \(k\) 个互不区分的环的方案数。

显然有递推式：

\[s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1) \times s(n-1,k) \]

上升幂和普通幂的转化

\[x^{\overline{n}}=\sum_{k} \begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix} x^k \]

\[x^n=\sum_{k} \begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix} (-1)^{n-k} x^{\overline{k}} \]

下降幂和普通幂的转化

事实上这个更加实用，因为组合数就是两个下降幂相除。

\[x^n=\sum_{k} \begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix} x^{\underline{k}} \]

\[x^{\underline{n}}=\sum_{k} \begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix} (-1)^{n-k} x^k \]

于是我们可以将普通多项式转化成下降幂多项式。

在不用任何多项式科技的情况下可以做到 \(\Theta(m^2)\)。

下降幂多项式有很优秀的性质，例如与组合数相乘可以得到漂亮的结果。