【题解】HAOI2007分割矩阵

　　水题盛宴啦啦啦……做起来真的极其舒服，比某些毒瘤题好太多了……

　　数据范围极小 --> 状压 / 搜索 / 高维度dp；观察要求的均方差，开始考虑是不是能够换一下式子。我们用\(a_{x}\)来表示第 \(x\) 个矩阵的总值，则式子为：

　　\(ans = sqrt \frac{{\left ( \sum_{1}^{n} a_{x} - \bar{x} \right )^2}}{n}\)

　　转化一下，化成：

　　\(ans = sqrt \frac{{\left ( -n\bar{x}^2 + \sum_{1}^{n}a_{x}^2 \right )}}{n}\)

　　然后问题就变成了：使划分出来的矩阵的平方和最小。直接上记忆化搜索，BINGO~

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 11
#define INF 99999999
#define db double
int n, m, K, sum[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn][maxn][maxn][maxn];
int tot;
db aver;

int read()
{
    int x = 0;
    char c;
    c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x;
}

int dfs(int a, int b, int c, int d, int K) 
{
    int *F = f[a][b][c][d];
    if(~F[K]) return F[K];
    else F[K] = INF;
    if(c * d - (a - 1) * (b - 1) < K) return F[K] = INF;
    if(K == 1)
    {
        F[K] = sum[c][d] - sum[a - 1][d] - sum[c][b - 1] + sum[a - 1][b - 1];
        return F[K] = F[K] * F[K];
    }
    for(int i = a; i < c; i ++)
        for(int j = 1; j < K; j ++)
        {    
            int x1 = dfs(a, b, i, d, j);
            int x2 = dfs(i + 1, b, c, d, K - j);
            F[K] = min(F[K], x1 + x2);
        } 
    for(int i = b; i < d; i ++)
        for(int j = 1; j < K; j ++)
        {
            int x1 = dfs(a, b, c, i, j);
            int x2 = dfs(a, i + 1, c, d, K - j);
            F[K] = min(F[K], x1 + x2);
        }
    return F[K];
}

int main()
{
    n = read(), m = read(), K = read();
    memset(f, -1, sizeof(f));
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            int x = read(); tot += x;
            sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + x;
        }
    db aver = (db) tot / K;
    dfs(1, 1, n, m, K);
    printf("%.2f\n", sqrt(((db) f[1][1][n][m][K] - aver * aver * (db) (K)) / (db) K));
    return 0;
}