随笔分类 - 数学
摘要：同样是排列组合的问题。“DNA分子中的4种核苷酸分解形成各种不同的组合，每一种组合就是一种氨基酸的符号” --苏联物理学家 盖莫夫4种碱基：A T C G.任意三种组合在一起就是一种氨基酸的符号。好吧：3种完全不同：4种情况。剩下A或剩下T或剩下C或剩下G;有2种相同：4*3=12种情况。AAT AAC AAG..;有3种相同：4种。AAA TTT CCC GGG.4+12+4=20.所以自然界只有20种氨基酸。
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摘要：中石油大学的一个教授，告诉我：夸克只有3种。上夸克U，带+2/3电子电荷；下夸克D，带-1/3电子电荷；奇异夸克S，带-1/3电子电荷。这3种夸克组成的重子只有10种...当时，也没计算。就默嗯了。回到宿舍，一想，不对啊，怎么会只有10种呢？把原来学过的概率知识用来用去都没想通。好吧。就用我最原始、最直接的思维想想：可以重复--例如UUU；组合无序--例如UUD、UDU是一种情况。三种夸克都不一样的情况：1种。UDS有两种夸克一样的情况：6种。UUD UUS DDU DDS SSD SSU三种夸克都一样的情况：3种。UUU DDD SSS1+6+3=10.oh,原来如此。看来，不要盲目套用&q
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摘要：有一个变色龙群体，其中包含20只红色、18只蓝色和16只绿色的变色龙。当两个不同颜色的变色龙相遇时，它们就会变成第三种颜色的变色龙。一段时间以后，是否有可能所有的变色龙都变成了同一种颜色？ 这个问题是阿肯色大学的一位数学家Boris Schein寄给Winkler的，它可能是十分古老的一个问题。这个问题曾经作为考题出给Kharkov的一个八年级学生，也曾经出给正在一家大的金融公司面试的哈佛大学的一个年轻毕业生，他们都给出了正确解答！ 问题的关键是注意到任何两个变色龙相遇之后，不同颜色的变色龙的个数之差除以3的余数保持不变（其中相遇的那一对的差值保持不变，其余的两对则是一个减1，一个加2...
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摘要：求证：如果先把一个矩阵每一行的元素都按从小到大的顺序重新排列，然后再把新得到的矩阵每一列的元素按从大到小的顺序排列，最终得到的新矩阵每一行还是按从小到大的顺序一次排列的。 “这是一个经典的定理，简单而令人惊奇。耶路撒冷希伯来得学的Dan Romik提醒我注意这个问题。Danald Knuth在The Art of Computer Programming第三卷中指出，这个结果最早出现在Hermann Boerner1955年写的一本书中。MIT的著名组合学家Richard Stanley的一个学生Bridget Tenner最近写了一篇题为‘A Non-Messing-Up Phenomen.
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摘要：任给一个3位数，用这3个数字可构成的 最大数 减 最小数，如此循环，最终必得495.证明：设三位数为abc，这里只证a>b>c的情况，其他情况可仿效证明。 abc-cba=(a-1-c)b(c+10-a),这说明这三位数经过第一次运算之后，会变得有规律：中间数字为9，其两侧的数字之和为9. 设三位数为m9n(m>n),9mn-nm9=(8-n)9(n+1),这说明经过一次运算之后，右边的数字+1，左边的数字是由8减来的，得到495后，循环不再变化。ps:只要肯动手，什么都不难。
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摘要：简单而有趣的“清一色”：1,11,111,1111,...结论1：数列中所有的项模4余3。证明：显然可以从所有的项模2余1来思考（关于mod的一些变式），这里用更基础的方法。每一项可写成1+10n,或者11+100n,或者111+1000n的形式（显然n取值也是全1），以11+100n为例：11+100n=4(25n+2)+3.over.结论2：数列中除1外，没有一项是整数的平方。证明：由于奇数的平方模4余1，偶数的平方模4余0。（见前一篇）对比结论1，可得结论2。over.结论3：这一数列中，必定有一项是67的倍数。证明：从该数列中，任取67个数，模67。根据鸽巢原理，至少有两个数的余数相同
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摘要：定理1：奇数的平方模4余0，偶数的平方模4余1.证明：不妨设偶数为2n，奇数的平方为2n+1.(2n)^2=4n^2，(2n+1)^2=4n(n+1)+1.OVER.定理2：四个连续自然数的平方+1=奇数的平方。证明：设这4个连续自然数为 x,x+1,x+2,x+3.x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1=(x^2+3x+1)^2下面证明x^2+3x+1一定为奇数：x(x+3) 必定一奇一偶，因为3是奇数，而奇数有特性“+奇变性”（奇+奇=偶，偶+奇=奇）。奇*偶=偶，所以，x(x+3)必定为偶，x(x+3)+1为奇数。
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摘要：（1+√2）500 第99位数字是多少？100位呢？...（更多位的具体数字的计算方法有待探讨） 这个问题出自Emissary[3],1999 fall 卷。乍一看这个问题似乎有点难。及时你想偷懒决定利用计算机来算，也需要一定的耐心，且需要涉及特殊的程序（结合高效的算法），才能得到你需要的信息。 如果用计算机的话，因为√2不是常数，需要至少计算101位，而这已经超过了int类型4个字节的存储极限（2^32-1=42 9496 7295），即使使用_int64也无济于事。只能模拟运算了，而这个问题的难点在于模拟 幂运算 或者 两个大整数的乘法运算。有时间，不妨一试。 读了下面的方法，你...
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摘要：这个有趣的问题出自Berlekamp和Buhler在Emissary[3]2006 spring/fall卷上所做的迷题专栏。http://www.crcnetbase.com/doi/abs/10.1201/b10592-4Numerical Conundrums.他们从数论学家Hendrik Lenstra那儿听到这个问题。你可以在Google中输入“2^29”来查看你这个数字，然而是否有一种简单的方式通过心算或者简单的笔算就可以将结果得到呢？ 你可能会想起在学校中学到的一种称为“除9校验”的技巧。 定理1：10^n =1 (mod 9) n为任意自然数。 定理2：任意正整数mo...
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摘要：1.大于1000的奇数其平方与1的差是8的倍数。2.角谷猜想日本一位中学生发现一个奇妙的“定理”，请角谷教授证明，而教授无能为力，于是产生角谷猜想。猜想的内容是：任给一个自然数，若为偶数除以2，若为奇数则乘3加1，得到一个新的自然数后按照上面的法则继续演算，若干次后得到的结果必然为1。3.四方定理所有自然数至多只要用四个数的平方和就可以表示。4.卡布列克常数。任意一个四位数，只要它们各个位上的数字是不全相同的，就有这样的规律：1)将组成该四位数的四个数字由大到小排列，形成由这四个数字构成的最大的四位数；2)将组成该四位数的四个数字由小到大排列，形成由这四个数字构成的最小的四位数(如果四个数中含
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摘要：一个小学奥数老师给我讲了一道小学奥数题，这是他在上课时遇到的：从 1 到 4000 中，各位数字之和能被 4 整除的有多少个？注意，问题可能没有你想的那么简单，满足要求的数分布得并没有那么规则。 1 、 2 、 3 、 4 里有一个满足要求的数， 5 、 6 、 7 、 8 里也有一个满足要求的数，但是 9 、 10 、 11 、 12 里就没有了。尽管如此，这个问题仍然有一个秒杀解。你能多快想到？答案就是 1000 。首先， 0 和 4000 都是满足要求的数，因而我们不去看 1 到 4000 中有多少个满足要求的数，转而去看 0 到 3999 中有多少个满足要求的数，这对答案不会有影响。注
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摘要：很多时候，问题越是简单，解答起来越复杂。1983年，Kobon Fujimura提出了这样一个问题：N条直线最多可以构成多少个互不重叠的三角形？这个问题后来被称为Kobon三角形问题。虽然对于一些特殊的n，人们已经找到了确切的最优解，但目前Kobon三角形问题还没有一般的结论。就在上个月，Johannes Bader用17条直线构造出85个互不重叠的三角形，它被证明是n=17的最优解。这里，我们将给出Johannes Bader构造出来的图形，并且证明它确实是n=17时的最优解。如果n条直线中任两条不平行，任三条不共点，则每条直线都被其它n-1条直线切割为n份，产生了n-2个小线段，因此n条直
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摘要：Smale球面外翻问题(Smale's Sphere Eversion Paradox)是微分拓扑学中的一个非常有趣的问题：在允许与自身相交的情况下，是否有可能无损地、平滑地、不留折痕地把一个球面的内侧翻到外面来。答案是肯定的，并且球面外翻的方法不只一种。上面这段有趣的动画里就演示了球面外翻问题的一种常见解法。你能看出这是怎么变的吗？你能把整个变换过程的每个细节都想清楚吗？你是否能在头脑里清晰地想象出整个过程？你又如何给别人解释这一过程？这个小程序可以帮助你观察这个球面外翻过程。你可以拉进拉远，从任意角度观察任一时刻该球面的形状。程序提供了球面透明、只查看半球等实用功能便于你一步一步进
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摘要：很多东西都是吹神了的，其中麦田圈之谜相当引人注目。上个世纪里人们时不时能听见某个农民早晨醒了到麦田地一看立马吓得屁滚尿流的故事。上面这幅图就是97年在英国Silbury山上发现的麦田圈，看上去大致上是一个雪花形状。你或许会觉得这个图形很好看。看了下面的文字后，你会发现这个图形远远不是“好看”可以概括的，它的背后还有很多东西。在说明什么是分形艺术前，我们先按照下面的方法构造一个图形。看下图，首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段。然
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摘要：想像一个圆盘在地面上滚动一周，那么圆周上一点所形成的轨迹就叫做旋轮线（或者摆线）。旋轮线下方的面积是多少，这是一个非常有趣的问题。据说， Galileo 曾经用一种非常流氓的方法，推测出了旋轮线下方的面积。他在金属板上切出一块圆片，再在金属板边缘剪下这个圆形所对应的旋轮线，把它们拿到秤上一称，发现后者的重量正好是前者的三倍。于是，他推测，半径为 r 的滚轮所产生的旋轮线，其下方的面积就是 3πr2。不过，今天我第一次知道，这个结论对于正多边形是同样成立的。考虑一个正三角形在平地上滚动一周，则原来的顶点 A1 将会先后转到 A2 和 A3 的位置。容易看出， A1 、 A2 、 A3 的连线与地
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摘要：与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。黎曼猜想是当今数学界最重要、最期待解决的数学难题。黎曼（1826-1866）是历史上最具想象力的数学家之一。12000年5月24日，美国克雷数学研究所在法国巴黎召开了一次数学会议。在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并作出了一个颇具轰动性的决定：为每个难题设立一百万美元的巨额奖金。距此次会议一百年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特的德国数学大师也列出了一系列数学难题。那些难题一分钱
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摘要：10. 2008是所有元素均为非负整数，每一行每一列的数字和都等于3的4x4矩阵个数；9. 2008是使2^n+3恰为素数的第一个大于2000的n；8. 2008是广义Fibonacci数列1, 8, 9, 17, ... 的第14项；7. 2008是质数251与它的各位数字之和的乘积；6. 2008可以用两种方式表示成3个正整数的立方和。其中一种是10^3+10^3+2^3。你能找到另一种吗？5. 2008是所有三位Lucas数的和；4. 2008在三进制中是一个Kaprekar常数（就像十进制的6174一样）；3. 2008表示了一个把时针和分针位置互换后仍然有意义的（精确到秒的）时刻（即
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摘要：今天见到一种看上去很帅的质数筛选法。在平面直角坐标系上画出抛物线 y = x2的图像，然后标出抛物线上的所有格点（两坐标均为整数的点）。其中，只有点 (0, 0) 正好在 y 轴上，其余的点要么在 y 轴左侧，要么在 y 轴右侧。把 y 轴左侧除了 (-1, 1) 以外的所有格点与 y 轴右侧除了 (1, 1) 以外的所有格点相连，这些连线将自动避开 y 轴上纵坐标为质数的点。连接足够多的线条之后，质数就逐渐露了出来。这是因为， (-a, a2) 和 (b, b2) 的连线将经过 (0, a · b) ，这可以通过计算斜率的方法得到验证。这个颇具创意的质数筛选法叫做 visual s
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摘要：数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国、日本得以发展的数字游戏。九宫数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格（如图）。九阶标准数独题目，是要求解题者从1到9的9个数字中选择一个数字填到图中的空格里，使得从1到9 的9个数字在它的每一行、每一列和每一个九宫（指用粗线框住的3×3的区域）里都仅仅出现一次。即在9×9的格子中，用1到9共9个阿拉伯数字填满整个格子，要求符合：一，1，2，……，8，9的9个数字在每一行各自独居一格，位置不限；二，1，2，……，8，9的9个数字在每一列各自独居一格，位置不限；三，9个3×3的小九宫里，1，2，……，8，9的9个数字各自独居一格
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