【计算几何】多边形

2．多边形

 (polygon.pas/c/cpp)

【问题描述】

在平面直角坐标系中给出一个顶点横纵坐标均为整数的简单多边形[1]，求在这个多边形内部有多少个横纵坐标均为整数的点。

 

【输入】

输入文件名为polygon.in，共 行，第一行包含一个正整数 。

下面共 行，每行包含两个整数 ，依次表示多边形顶点的坐标，顶点按照逆时针顺序给出。

 

【输出】

输出文件名为polygon.out，共一行，包含一个非负整数，表示多边形内部的整点个数。

 

【输入输出样例】

polygon.in	polygon.out
7 0 3 1 1 4 2 7 1 5 3 8 5 2 6	20

 

【样例说明】

　　

　

　　上图中黄色的点为多边形内部的整点，共20个。

---

　　考试题。。

　　计算几何第一题就来发一下吧。

　　首先搞pic定理:S=a+b/2-1(a是格点图形内的点数,b是边上的整点数)

　　所以只要求边上的整点,图形面积。

　　边上整点:(每条边的横竖坐标之差的绝对值的gcd)-1就是除这条边两个端点点上的所有点。

　　然后求面积。

　　叉积百度吧。。(math公式挂了没法解释了。。)

　　所以大约是以源点是一个节点，然后连n次,每次连输入中的1点和2点,2点和3点..n点和1点。

　　然后每次有两个向量.

　　它们的向量叉积之和就是面积和

　　至于证明自己推一下。。

　　

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

#define maxn 100001

int gcd(int n,int m){return m==0?n:gcd(m,n%m);}

inline int in()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

struct ed{
    int x,y;
}a[maxn+1];

int main()
{
  freopen("polygon.in","r",stdin);
  freopen("polygon.out","w",stdout);
  int n;
  long long biandian=0,S=0;
  n=in();
  for(int i=1;i<=n;i++)
      a[i].x=in(),a[i].y=in();
  a[n+1]=a[1];
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
      biandian+=gcd(fabs(a[i+1].x-a[i].x),fabs(a[i+1].y-a[i].y));
      S+=(long long)a[i].x*a[i+1].y-(long long)a[i].y*a[i+1].x;
  }
  printf("%lld",(long long)(S+2-biandian)>>(long long)1);
  return 0;
}