数独技巧——唯一矩形排除法的几种情况

唯一矩形排除法的几种情况

详细解说参见：http://www.sudopedia.org/wiki/Uniqueness_Test （英文）

在进行游戏的时候，在矩形排除观察之前，应该先使用数对法进行一次排除。 以下7种类型的唯一矩形，对第六种和第七种都还不是很明白是怎么推的，等弄明白后再说明是如何得出论断的

第一种情况

Type 1 Unique Rectangle

组成矩形的四个方块内，都由候选数xy组成，但是其中一个多了一个一个候选数z，则该数格就必然是z。

这是因为倘若该格不是z的话，则四个方格都由xy组成，形成多解，所以该格必然是z。

第二种情况

Type 2 Unique Rectangle

由xy组成的矩形上，倘若在其中一边的两个数格还都有另外一个候选数z，则这两个数格必有其中一个为z（倘若两个都不是z，又要出现多解！）

所以在这两个数格所在的house(行/列/块)里必定不能再出现z

第三种情况

Type 3 Unique Rectangle

跟第二种情况类似，但是这两个数格内不是同一个候选数，而是候选数a,b。此时可以把这两个数格看做一个只含有候选数a和b的数格，它可以与house内的另外的数格一起组成显式数集，从而排除其他数格里的候选数

第四种情况

Type 4 Unique Rectangle

这又是第三种情况的另外一种特例。假设a和b所在行/列里，别的数格里不包含x，则在xya,xyb这两个数格里，必然包含有a或b以及x，所以必然不包含y！

第五种情况

Type 5 Unique Rectangle

这种矩形应该很少遇到，四个数格里，有三个是含候选数xyz，只有一个是含候选数xy，并且四个数格是分布在两个宫格（Box）里。此时，对于同时在三个含 z数格的house里的数格，可以排除候选数z。这个推理其实也很简单，因为三个z必然有一个为真（即该格就是数字z），无论哪一个为z，对于可以同时与这三个数格在同一个house的数格（最多两个，与其中两个z在一个box内）

第六种情况

Type 6 Unique Rectangle

这种矩形要求四个格都含有xy，且其中在两行两列上x只出现在这两个数格里（实际上只要x在行列上形成强链即可推论），且在四个方格的存在对角是xy的情况，则另外两个对角必然不是x。

推理如下：

1. 首先为了避免出现多解的情况，这四个方格中，一定会有一个非xy的候选数
2. 假定其中一个有额外候选数的数格是x，那么同边的数格就肯定没有x，于是对角数格肯定就是x（因为这两个x是强链），所以对角方格必然不能是非xy的候选数，这显然违背了四个方格肯定有一个非xy候选数的推论矛盾，所以这个假设是错误的。也就是说这个假定是x的数格肯定不能是x。
3. 反方向也是同样的推理过程！

第七种情况

Hidden Unique Rectangle

假设我们有一个A,B,C,D数格组成的矩形，A和D在对角，B和C在对角，且AB或BD在同一个BOX里，且他们各自的候选数满足这样的情况： A为ab，B为abx，C为aby，D为abz，其中x,y表示1个以上的候选数，z表示0个以上的候选数xyz可以存在相同的候选数。假定在B和D共同的house里，候选数a只在B和D出现，C和D的共同的house里，a也只在C和D出现，这个时候我们就可以从D里排除候选数b 观察上图，可以在行1行2和列2列6（即r1c26,r2c26）发现Hidden Unique Rectangle，候选数4在第二行和第六列没有在其余第数格出现，且r1c2只有4和8，所以可以从r2c6排除8 在上例中，A是r1c2，B和C是r1c6和r2c2，D是r2c6，a是4，b是8，x和y是3和9，z是2

推理如下：

1. 首先为了避免出现多解的情况，这四个方格中，一定会有一个非ab的候选数
2. 假定D方格内的数字为b，则D方格不能是a，则B和C里的a因为与D的a是强连接，所以B和C里就一定是a，这就使得在A,B,C,D里不会出现非ab的情况，这显然与之前的推论矛盾，所以D方格不能有数字b

下图是z表示无候选数的情况