f(k(t))

摘要： 简介 杜教筛是一个用于处理数论函数前缀和的方法，优化后它可以在 \(O(n^{\frac 2 3})\) 的时间复杂度下求解一个前缀和 原理 如果给定一个函数$f$ ，要求计算 \(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\) 。为了降低复杂度，我们想办法构造一个 \(S(n)\) 关于 \(S( 阅读全文

摘要： 定义 如果一个线性同余方程 \(ax\equiv 1\pmod b\) ，则称 \(x\) 为 \(a\bmod b\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\) 它等价于 \(ax+by=1\) ，根据线性同余方程有解的条件可得 \(\gcd(a,b)\mid 1\) ，所以当且仅当 \(\gcd(a, 阅读全文

摘要： 快速幂 简介 快速幂（Binary Exponentiation），是一个在 \(O(\log b)\) 的时间内计算 \(a^b\) 的小技巧，而暴力计算复杂度则为 \(O(n)\) 设 \(b\) 在二进制下表示为： \[ b=c_{k-1}2^{k-1}+c_{k-2}2^{k-2}+\cdo 阅读全文

摘要： 题目 AcWing 220 给定整数 \(N\) ，求 \(1\leq x,y\leq N\leq 10^7\) 且 \(\gcd(x,y)\) 为素数的 \((x,y)\) 有多少对 分析 用朴素的算法求解显然复杂度为 \(O(N^2\log^2 N)\) ，所以考虑变形： \[ \begin{a 阅读全文

摘要： 前置知识 Mex运算 设 \(S\) 表示一个非负整数集合，定义 \(\operatorname{mex}(S)\) 为求出不属于集合 \(S\) 的最小非负整数运算 公平组合游戏 若一个游戏满足： 两名玩家交替行动 在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关 不能行动的玩家判负 则 阅读全文

摘要： 简介 本文介绍了博弈论中的七种基础组合游戏，并给出了证明，如有错误之处欢迎指正 Nim博弈 定义 Nim博弈的定义是： 给定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个，两人轮流取，每次可以任选一堆取走任意多个物品，可以取光但不能不取，最后把物品全部取完者胜利 判断先手是否有必 阅读全文

摘要： 简介 Staircase-Nim博弈是Nim博弈的变形，它的定义是： 给定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个，两人轮流取，每次可以从第 \(k\) 堆中取任意多个物品放到第 \(k-1\) 堆中，第 \(1\) 堆物品可以放到第 \(0\) 堆中，最后无法操作者失败 阅读全文

摘要： 简介 Anti-Nim博弈是Nim博弈的变形，它的定义是： 给定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个，两人轮流取，每次可以任选一堆取走任意多个物品，可以取光但不能不取，最后把物品全部取完者失败 判断先手是否有必胜策略 推理 先手必胜当且仅当： 每堆的物品数都为 \(1\ 阅读全文

摘要： 简介 Nimk博弈是Nim博弈的变形，它的定义是： 给定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个，两人轮流取，每次可以从不超过 \(k\) 堆的物品里取走任意多个物品，可以取光但不能不取，最后把物品全部取完者胜利 判断先手是否有必胜策略 推理 Nim博弈实际上就是 \(k= 阅读全文

摘要： 简介 Nim博弈的定义是： 给定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个，两人轮流取，每次可以任选一堆取走任意多个物品，可以取光但不能不取，最后把物品全部取完者胜利 判断先手是否有必胜策略 推理 证明：当 \(A_1\oplus A_2\oplus\cdots\oplus 阅读全文