砝码称重问题

1、问题描述  

问题1、如果天平两端都允许放砝码，并且假定所有的砝码都是整数克。为了称出从 1 克到 40 克所有整数克的物品，最少需要几个砝码？

问题2：4个砝码，每个重量都是整数克，总重量为40克，放在天平上可以称出1～40克的物体。编程求出这4个砝码各多少克。

2、 问题分析

2.1、问题1分析（砝码称重问题，因式分解有妙用）

秘密在于 3 的幂

说起来这个问题历史还算是挺悠久的。据《数学游戏与欣赏》（ [英] 劳斯·鲍尔 [加] 考克斯特 著，杨应辰等 译），这个问题被称作巴协 (Bachet) 砝码问题；而据《数学聊斋》（王树禾著），该问题至少可追溯到 17 世纪法国梅齐里亚克 (Meziriac, 1624) 。他们给出的答案是：最少需要 4 个砝码，规格分别为 1 克、3 克、9 克和 27 克。

例如，为了称出 2 克的物品，我们只需在天平一端放 3 克砝码，在另一端放上 1 克的砝码；而要称出 7 克的物品，则可以在一端放上 1 克和 9 克的砝码，另一端放上 3 克的砝码。

类似地，要称出 1 克到 4 克中所有整数克的物品，只需要 2 个砝码；要称出 1 克到 13 克中所有整数克的物品，则只需要 3 个砝码；要称出 1 克到 121 克中所有整数克的物品则要 5 个砝码，它们分别是 1 克、3 克、9 克、27 克和 81 克，如此等等。

也许有人已经心领神会了，但是如果就此满足而匆匆离去的话，可能就错失了一个领略数学思想的机会——问题到这里并未结束啊！例如，4 个砝码究竟是不是最少的？还有没有其他的组合？对这些疑问的一个彻底的分析和说明，是 19 世纪由麦克马洪 (MacMahon) 给出的。下面就来领略一下其中的思想吧，或许你会从中学到很多。

因式分解的妙用

假设有一个重为 a 克的砝码，那么用它自然能够称出 0 克和 a 克的物品。不过，如果虚设天平的某一端为正的话，利用此天平和砝码我们还能称出 - a 克的物品——不妨规定把 a 克砝码放在天平右侧，将物品放在天平左侧，由此可以称出 a 克的物品；但若把 a 克砝码放在天平左侧，把物品放在天平右侧，由此称出的物品重量记作 - a。目前这样一种设想有点怪异，但这实际上和人类引入负数的思想是相同的。很快大家便会发现，这种设定非常精妙地简化了我们的计算和推导。现在暂且把该砝码能够称出的重量 - a，0，a 放进一个表达式中：

现在，假设有两个不同规格的砝码，分别重 a 克和 b 克（a < b）。按照上面的规定，我们可以称出 - a - b ，- b，- a，a - b，0，b - a，a，b，a + b。例如，为了称出 b - a，只需要把 b 克的砝码放在右端，物品和 a 克的砝码放在左端；按照上面的约定，如果天平平衡，物品就是 b - a 克。而要称出 a - b， 则把 b 克砝码放在左端，a 克砝码和物品放在右端，如果平衡则物品是 a - b 克。同样地，把这些数塞进一个表达式：

可以看到，它不是别的，正好是

的展开式。

另外，假设有 m 个同样重为 a 克的砝码，则可以称出 - ma，- (m - 1)a，…，0，…，(m - 1)a，ma 克的物品。暂且按照上面的办法，把这些数也塞进一个表达式中 ：

结合上面的分析，容易看出，如果有 m 个 a 克的砝码，n 个 b 克的砝码，等等，那么可以称出物品的克数就是表达式

展开后出现过的那些 x 的幂数，而展开式中 x 的 i 次项系数就表示用给定的这组砝码称出 i 克物品的不同方法数。

如果要称出 1 到 40 中所有的整克数，并且要求所用的砝码尽可能少，我们自然希望这些砝码能够“物尽其用”，称出的克数正好都是我们需要的克数，并且称的方法都是唯一的。也就是说，上述表达式展开后应该恰好是

反过来，就是要把

还原成

的形式。

对这个式子进行分解，一共有八种不同的方案：

前四个式子展示了我们实际上是如何对原式进行逐步分解的。它们的意义依次为：(1) 40 个 1 克的砝码；(2) 1 个 1 克，13 个 3 克的砝码 ；(3) 1 个 1 克，1 个 3 克以及 4 个 9 克的砝码；(4) 1 个 1 克，1 个 3 克，1 个 9 克以及 1 个 27 克的砝码。其中，第四个分解式是最基本的，它就是我们想要的答案。

2.2、问题2分析 

设4个砝码的重量分别为w1、w2、w3、w4，则w1+w2+w3+w4=40，且w1,w2,w3,w4均为正整数。假设不相等(假设w1<w2<w3<w4)，故砝码中最大为34克。称重的天平有物体盘和砝码盘，称重时：

• 若砝码只放在砝码盘，则物体质量=砝码盘砝码质量；
• 若砝码盘和物体盘中都放置了砝码，则物体质量=砝码盘砝码质量-物体盘砝码质量。

从1～40，任意一个数，都应该能找到相应的砝码放置方法。砝码只有4个，且每次称重时，这4个砝码只能出现0次或者1次，且砝码要么在物体盘，要么在砝码盘，要解该问题，应该转换思路。

• 假设砝码在物体盘，认定其出现-1次；
• 假设砝码在砝码盘，认定其出现1次；
• 若该次称重，不需要该砝码，认定其出现0次。

设4个砝码在每次称重中出现的次数分别为x1,x2,x3,x4，则只有-1、0、1这三种取值。如上分析，找到的砝码组合个数应该为40个（即1～40中的任意一个数都有对应的砝码组合）。

3、具体实现

namespace WeightProblem
{
    class Program
    {
        //砝码总重量
        const int TOTALWEIGHT = 40;

        //4个砝码,w1+w2+w3+w4=40,且w1,w2,w3,w4均为整数,假设不相等(假设w1<w2<w3<w4)故最大为34
        const int MAXWEIGHT = 34;

        static void Main(string[] args)
        {
            int w1, w2, w3, w4;
            for (w1 = 1; w1 <= MAXWEIGHT; w1++)
            {
                for (w2 = w1 + 1; w2 <= MAXWEIGHT; w2++)
                {
                    for (w3 = w2 + 1; w3 <= MAXWEIGHT; w3++)
                    {
                        for (w4 = w3 + 1; w4 <= MAXWEIGHT; w4++)
                        {
                            if (w1 + w2 + w3 + w4 == TOTALWEIGHT)
                            {
                                if (weight(w1, w2, w3, w4))
                                {
                                    System.Console.WriteLine("w1={0} w2={1} w3={2} w4={3} ", w1, w2, w3, w4);
                                    output(w1, w2, w3, w4);
                                    Console.ReadLine();
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }

        //从1～40，不管哪个重量都要找到相应的砝码放置方法
        //w1,w2,w3,w4分别为4个砝码的重量
        static bool weight(int w1, int w2, int w3, int w4)
        {
            int w;  //物体重量

            //砝码只有4个，且每次称重时，这4个砝码只能出现0次或者1次
            //出现时，砝码要么在物体盘，要么在砝码盘，要解该问题，转换思路
            //假设砝码在物体盘，认定其出现-1次
            //假设砝码在砝码盘，认定其出现1次
            //若该次称重，不需要该砝码，认定其出现0次
            //4个砝码在每次称重中出现的次数
            int x1, x2, x3, x4; //只有-1，0，1这三种取值

            int count = 0;      //找到的砝码组合个数

            //对1～40中的每个重量，都要找到相应的砝码组合
            //若有一个w(1<=w<=TOTALWEIGHT)没有找到相应的砝码组合，则表明该组砝码值不是所求
            for (w = 1; w <= TOTALWEIGHT; w++)
            {
                for (x1 = -1; x1 <= 1; x1++)
                {
                    for (x2 = -1; x2 <= 1; x2++)
                    {
                        for (x3 = -1; x3 <= 1; x3++)
                        {
                            for (x4 = -1; x4 <= 1; x4++)
                            {
                                if (w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3 + w4 * x4 == w)
                                {
                                    count++;

                                    //找到该重量对应的砝码组合后，继续下一个重量
                                    x1 = x2 = x3 = x4 = 2;
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }

            //如果找到所有的1~TOTALWEIGHT的砝码组合,则该组砝码值即为所求
            if (count == TOTALWEIGHT)
                return true;
            else
                return false;
        }

        //输出1～40中每个重量对应的砝码组合（负数表示该砝码放在物体盘）
        static void output(int w1, int w2, int w3, int w4)
        {
            int w;  //物体重量
            int x1, x2, x3, x4; //只有-1，0，1这三种取值

            //对1～TOTALWEIGHT中的每个重量，都要找到相应的砝码组合
            for (w = 1; w <= TOTALWEIGHT; w++)
            {
                for (x1 = -1; x1 <= 1; x1++)
                {
                    for (x2 = -1; x2 <= 1; x2++)
                    {
                        for (x3 = -1; x3 <= 1; x3++)
                        {
                            for (x4 = -1; x4 <= 1; x4++)
                            {
                                if (w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3 + w4 * x4 == w)
                                {
                                    System.Console.Write("w={0}: ", w);
                                    if (x1 != 0)
                                        System.Console.Write("{0} ", w1 * x1);
                                    if (x2 != 0)
                                        System.Console.Write("{0} ", w2 * x2);
                                    if (x3 != 0)
                                        System.Console.Write("{0} ", w3 * x3);
                                    if (x4 != 0)
                                        System.Console.Write("{0} ", w4 * x4);
                                    System.Console.WriteLine();

                                    //继续下一个重量
                                    x1 = x2 = x3 = x4 = 2;
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}

4、运行结果

说明：第一行表示4个砝码的质量分别为1，3，9，27；其他行，负数表示该砝码放在物体盘，正数表示该砝码放在砝码盘。

w1=1 w2=3 w3=9 w4=27
w= 1: 1
w= 2: -1 3
w= 3: 3
w= 4: 1 3
w= 5: -1 -3 9
w= 6: -3 9
w= 7: 1 -3 9
w= 8: -1 9
w= 9: 9
w=10: 1 9
w=11: -1 3 9
w=12: 3 9
w=13: 1 3 9
w=14: -1 -3 -9 27
w=15: -3 -9 27
w=16: 1 -3 -9 27
w=17: -1 -9 27
w=18: -9 27
w=19: 1 -9 27
w=20: -1 3 -9 27
w=21: 3 -9 27
w=22: 1 3 -9 27
w=23: -1 -3 27
w=24: -3 27
w=25: 1 -3 27
w=26: -1 27
w=27: 27
w=28: 1 27
w=29: -1 3 27
w=30: 3 27
w=31: 1 3 27
w=32: -1 -3 9 27
w=33: -3 9 27
w=34: 1 -3 9 27
w=35: -1 9 27
w=36: 9 27
w=37: 1 9 27
w=38: -1 3 9 27
w=39: 3 9 27
w=40: 1 3 9 27

扩展：

1、砝码分盐问题。假设有 280g 盐，有一架天平，有两个砝码，分别是 4g 和 14g 。 能否在 3 次内将 280g 食盐分为 100g 和 180g 两堆，请详细描述你的解决方法。

2、分金条问题。你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你 的工人付费。

参考资料：

1、http://blog.csdn.net/livelylittlefish/article/details/3854702

2、http://www.guokr.com/article/3742/