1.1.3 最大公约数

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1.1.3 最大公约数
主要内容：辗转相除法、二进制算法、最小公倍数、扩展欧几里得算法、求解线性同余方程

一、 辗转相除法
辗转相除法也称欧几里得算法。在稍后，我们会学到扩展欧几里得算法，其是在欧几里得算法的基础上发展的。

下面给出代码，相关证明可以参考《高等代数》第一章多项式中求最大公因式的证明

int gcd(int x, int y){
if (x0) return y;
if (y0) return x;
return gcd(y,x%y);
}
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二、 二进制算法
一般的辗转相除法效率较低，下面给出利用因数2优化的辗转相除法。

inline int gcd(int x, int y){
if (x0) return y;
if (y0) return x;
int i,j,k;
for (i=0;(x&1)0;i++) x>>=1;//除去x中所有因子2
for (j=0;(x&1)0;j++) y>>=1;//除去y中所有因子2
k = min(i,j);//算出公共因子2的次数
while(1){
if (x<y) swap(x,y);
if ((x-=y)0) return y<<i;
while ((x&1)0) x>>=1; //去掉冗余的因子2
}
}
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根据我的理解，2也可以更换为其他的因数，从而产生相似的算法，但二进制算法的优势在于，其有因子2，二进制移位运算相较四则运算和取模运算较为快速，因此我们采用二进制算法

三、最小公倍数
易证下面的结论

\[a\cdot b = (a,b) \cdot [a,b]\\ 其中(a,b)表示a和b的最大公约数，[a,b]表示a,b的最小公倍数\\ 从而有\\ [a,b] = \frac{ab}{(a,b)}\\ \]

四、 扩展欧几里得算法
首先，我们应当了解一个著名的定理：

裴蜀定理

\[\begin{aligned} 对a,b\in \mathbb{Z},(a,b) = d\quad&\Leftrightarrow\quad\exists x,y\in\mathbb{Z}\quad\quad ax+by = kd\quad(k\in \mathbb{Z}-\big\{0\big\})\\ 特别地，令k=1:(a,b) = d\quad&\Leftrightarrow\quad\exists x,y\in\mathbb{Z}\quad s.t.ax+by=d\\ 推论，当k=d=1:(a,b)=1\quad&\Leftrightarrow\quad\exists x,y\in\mathbb{Z}\quad s.t.ax+by=1 \end{aligned} \]

我们主要考察第二个等式

对于给定的a,b，我们可以通过欧几里得算法求得d

但是如何求出对应的p,q，使得pa+qb=d呢？

这就需要用到扩展欧几里得算法。

下面先给出推导过程

\[\begin{aligned} 由(a,b)=d，可设p_1a+q_1b&=d\\ 再由(b,a\%b)=d，可设p_2b+q_2(a\%b)&=d\\ 令t=[\frac{a}{b}]，则a\%b&=a-bt\\ 即p_2b+q_2(a-bt)&=d\\ 乘开后合并得q_2a+(p_2-q_2t)b&=d\\ \end{aligned} \begin{aligned} 于是，p_1&=q_2\\ q_1&=p_2-q_2t=p_2-q_2[\frac{a}{b}]\\ 于是，我们找到了(p_1,q_1)&与(p_2,q_2)的关系,\\ \quad\quad我们可以将其作为递归公式使用：\\ (p_n,q_n)&=(q_{n+1},p_{n+1}-q_{n+1}[\frac{a_n}{b_n}]) \end{aligned} \]

再考虑边界条件：

\[a_n\ne0,b_n=0\left\{ \begin{matrix} p_n=1 \\ q_n=0 \end{matrix} \right.\\ a_n=0,b_n\ne0\left\{ \begin{matrix} p_n=0 \\ q_n=1 \end{matrix} \right.\\ \]

于是，我们得到了下面的算法

\[如果a_n\ne0,b_n=0\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} (p_n,q_n)&=(1,0) \\ gcd(a_n,b_n)&=a_n \end{aligned} \end{matrix} \right.\\ 如果a_n=0,b_n\ne0\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} (p_n,q_n)&=(0,1) \\ gcd(a_n,b_n)&=b_n \end{aligned} \end{matrix} \right.\\ 否则，令(a_{n+1},b_{n+1})=(b_n,a_n\%b_n)\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} (p_n,q_n)&=(q_{n+1},p_{n+1}-q_{n+1}[\frac{a_n}{b_n}])\\ gcd(a_n,b_n)&=gcd(b,a\%b) \end{aligned} \end{matrix} \right.\\ 其中，n可以理解为程序当前所在的递归层数\\ \]

将上述大括号内容的程序合并在一个函数中，我们就得到了扩展欧几里得算法

代码如下：

int exgcd(int a, int b, int &p, int &q){
//两种边界情况
if (!a){
p = 0, q = 1;
return b;
}
if (!b){
p = 1, q = 0;
return a;
}
//不处于边界情况，准备递归
int d = exgcd(b, a%b, p, q);//递推，回归时p,q的层数为n+1
int p2 = p, q2 = q; //存储第n+1层的p,q的信息
p=q2, q = p2 - q2 * (a / b);//计算第n层的p,q的信息；
return d; //返回gcd(a,b)
}
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五、求解线性同余方程
借助扩展欧几里得算法，我们可以求解线性同余方程

\[pa \equiv c \quad(mod\quad b) \]

求解该方程等价于求解

\[pa + qb = c \]

很显然，当c是d=(a,b)的倍数时，该方程有解。

于是此方程可用扩欧算法求解，

\[\begin{aligned} 先对p_0a+q_0b&=d解出p_0和q_0\\ 再设c&=kd=k\cdot(a,b)\\ 则kp_0a+kq_0b&=kd=c\\ 即p=kp_0&，q=kq_0 \end{aligned} \]

bool linrequ(int a, int b, int c, int &p, int &q){
int d = exgcd(a, b, p, q);
if (c % d) return false; //如果c不整除d，则无整数解
int k = c / d;
p *= k; q *= k;
return true;
}
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需要注意的是，由于原同余方程中不存在q，所以同余方程中可能有多组解。

根据本原解p,q可以构造出更多的解

\[\begin{aligned} \forall t \in \mathbb{Z}\quad(p_n,q_n) &= (p+tb,q-ta)\quad\\ 都是方程\quad pa &\equiv c \quad(mod\quad b)\quad的解 \end{aligned} \]

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