矩阵

目录

初等矩阵

置换矩阵

置换矩阵是用来完成行互换的矩阵，记作P。由单位矩阵E重新行排列得来，是初等矩阵的一种。
n阶E有n!个置换矩阵P。

PA=LU。
所有的P都可逆，且\(p^{-1}=p^{T}\)

对称矩阵

转置等于自身的矩阵为对称矩阵。如\(A^{T}=A\)，则A是对称矩阵。

恒有等式\((AA^{T})^{T}=AA^{T}\)，故：\(AA^{T}\)是对称矩阵

矩阵的运算

1 矩阵的基本运算

1.1 相等

\(A=B\Leftrightarrow A,B\)是同型矩阵，且对应元素相等
即：
\((a_{ij})_{m×n}=(b_{ij})_{s×k}\Leftrightarrow m=s,n=k且a_{ij}=b_{ij}（i=1,2,...,m;j=1,2,...,n）\)

1.2 加法

  • 两个矩阵是同型矩阵才可以相加
  • 矩阵相加即对于元素相加
  • 相加得到的矩阵C和A，B是同型矩阵

\(C=A+B=(a_{ij})_{m×n}+(b_{ij})_{m×n}=(c_{ij})_{m×n}\)
其中:
\(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}（i=1,2,...,m;j=1,2,...,n）\)

1.3 数乘矩阵

k为一个数，A是一个mxn矩阵。
数乘矩阵，A的每个元素都乘以k

\(kA=Ak=(ka_{ij})_{m×n}\)

1.4 矩阵乘法

A是mxs矩阵，B是sxn矩阵，则A，B可乘，乘积AB是mxn矩阵

  • （1）常规方法：左行×右列：
    \(C=AB=(c_{ij})_{m×n}\)
    其中：
    \(c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{is}b_{sj}（i=1,2,...,m;j=1,2,...,n）\)

假设\(\begin{bmatrix}2&7 \\ 3&8 \\ 4&9\end{bmatrix}\)为矩阵A，\(\begin{bmatrix}1&6 \\ 0&0\end{bmatrix}\)为矩阵B

  • （2）整列：左矩阵×右列
    \(\begin{bmatrix}2&7 \\ 3&8 \\ 4&9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&6 \\ 0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2&7 \\ 3&8 \\ 4&9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}2&7 \\ 3&8 \\ 4&9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&6 \\ 0&0 \end{bmatrix}\)
    即：\(AB=AB_{1}+AB_{2}\)
  • （3）整行：左行×右矩阵
    \(\begin{bmatrix}2&7 \\ 3&8 \\ 4&9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&6 \\ 0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2&7 \\ 0&0 \\ 0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&6 \\ 0&0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}0&0 \\ 3&8 \\ 0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&6 \\ 0&0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}0&0 \\ 0&0 \\ 4&9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&6 \\ 0&0 \end{bmatrix}\)
    即：\(AB=A_{1}B+A_{2}B+A_{3}B\)
  • （4）左列×右行
    \(\begin{bmatrix}2&7 \\ 3&8 \\ 4&9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&6 \\ 0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2 \\ 3 \\ 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&6 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}7 \\ 8 \\ 9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0 \end{bmatrix}\)

2 矩阵的运算规律

2.1 线性运算的运算规律

加法运算和数乘运算统称为线性运算

  • A+B=B+A
  • (A+B)+C=A+(B+C)
  • k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA
  • k(lA)=(kl)A=l(kA)

2.2 矩阵乘法的运算规律

假设以下矩阵可乘

  • (AB)C=A(BC)
  • A(B+C)=AB+AC；(A+B)C=AC+BC
  • (kA)B=A(kB)=k(AB)

2.3 转置矩阵的运算规律

  • \((A^{T})^{T}=A\)
  • \((kA^{T})=k(A^{T})\)
  • \((A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\)
  • \((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)

2.4 矩阵的幂的运算规律

假设A,B是同阶方阵，则：

  • \((A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}\)
  • \((A-B)^{2}=A^{2}-AB-BA+B^{2}\)
  • \((A+B)(A-B)=A^{2}+BA-AB-B^{2}\)
  • \((AB)^{m}=(AB)(AB)...(AB)=A(BA)(BA)...(BA)B\neq A^{m}B^{m}\)

分块对角矩阵的幂的条件是：A，B分别为m，n阶方阵

  • \(\begin{bmatrix} A &O \\ O& B \end{bmatrix}^{n}=\begin{bmatrix} A^{n} &O \\ O& B^{n} \end{bmatrix}\)

2.5 逆矩阵的运算规律

设A,B是同阶可逆矩阵
A,B可逆\(\Rightarrow\)AB可逆
A可逆\(\Rightarrow A^{T}\)可逆

  • \((A^{-1})^{-1}=A\)
  • \((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)
  • \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
  • \((A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\)
  • \(\begin{bmatrix} A &O \\ O& B \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} &O \\ O& B^{-1} \end{bmatrix}\)
  • \(\begin{bmatrix} O &A \\ B& O \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} O &B^{-1} \\ A^{-1}& O \end{bmatrix}\)
  • \(\begin{bmatrix}A&C \\ 0& B\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\0&B^{-1}\end{bmatrix}\)
  • \(\begin{bmatrix}A&0 \\ C& B\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&0\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{bmatrix}\)
  • 方阵才有行列式
  • 方阵才有n阶的说法

初等变换

  • 行列式变换：面积不变。为了出现尽可能多的0，方便展开式。
  • 矩阵初等变换：方程组同解。为了出现尽可能多的0，方便化简方程（高斯消元法）。

初等变换包括：

  • 线性方程组的初等变换
  • 行列式的初等变换
  • 矩阵的初等变换

行列初等变换

行列式的性质

  • 性质1：行列互换，行列式不变
  • 性质2：一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式
  • 性质3：如果行列式中有两行相同，那么行列式为0，所谓两行相同，即两行对应的元素都相等
  • 性质4：如果行列式中，两行成比例，那么该行列式为0
  • 性质5：把一行的倍数加到另一行，行列式不变
  • 性质6：对换行列式中两行的位置，行列式反号

行列式的初等变换

求解行列式的值时可以同时使用初等行变换和初等列变换。

  1. 换行变换：交换两行（列）。

换法变换的行列式会变号；

  1. 倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k。

倍法变换的行列式会变k倍；

  1. 消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上。

消法变换的行列式不变。

矩阵的初等变换

  1. 交换矩阵的两行（对调i,j，两行记为\(r_{i}\)，\(r_{j}\)）；
  2. 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为\(r_{i}\)×k）；
  3. 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为\(r_{i}\)+k\(r_{j}\))。

类似地，把以上的“行”改为“列”便得到矩阵初等变换的定义，把对应的记号“r”换为“c”。
矩阵的初等行变换与初等列变换合称为矩阵的初等变换。

方阵的行列式

数乘方阵的行列式

当n阶方阵计算行列式时，记成|A|，读作A的行列式。有：

\(|kA|=k^{n}|A| \neq k|A|（n \geqslant 2，k \neq 0,1）\)

方阵乘积的行列式

设A，B是同阶方阵，则有：

\(|AB|=|A| |B|\)

分块矩阵的行列式

设A为m阶矩阵，B为n阶矩阵
当子块均为方阵时，分块矩阵的行列式相当于拉普拉斯展开式（猜测）

\(\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} A&O\\ O&B \end{bmatrix} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} A&O\\ O&B \end{vmatrix} =|A||B|\)

\(\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} O&A\\ B&O \end{bmatrix} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} O&A\\ B&O \end{vmatrix} =(-1)^{m×n}|A||B|\)

转置矩阵的行列式

\(|A^{T}|=|A|\)

逆矩阵的行列式

\(矩阵A存在逆矩阵A^{-1}的前提是A是方阵，且A和A^{-1}是同阶方阵\)

\(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)

阶梯矩阵

行阶梯型矩阵

  • 每个阶梯只有一行；
  • 元素不全为零的行（非零行）的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）；
  • 元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行。

行阶梯型矩阵：
\(\begin{bmatrix} 1& 0 &-1 \\ 0& 2 &1 \\ 0& 0 & 3 \end{bmatrix}， \begin{bmatrix} 0& 1 & 2&-1 \\ 0& 0 & 0 &1 \\ 0& 0& 0 &0 \\ 0& 0 &0 & 0 \end{bmatrix}\)

行最简阶梯型矩阵

  • 在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简形矩阵。

行最简阶梯型矩阵:
\(\begin{bmatrix} 1& 0& 0&-1 \\ 0&1& 0 &-2\\ 0& 0& 1&2 \end{bmatrix}\)

行阶梯型矩阵参考资料

posted @ 2019-08-11 20:21  孤舟浮岸  阅读(691)  评论(0)    收藏  举报