方程组是什么

目录

• 方程组的基础解系
• 线性表出
• 线性相关性
• 线性子空间
  • 二维空间的子空间：
  • 三维空间的子空间：
• 方程组的解
  • Ax=0或Ax=b的解的个数：
  • 如何解Ax=0

方程组的基础解系

A是nxn的矩阵，方程组Ax的基础解系

• 基础解系个数为：n-r(A)
• 其中一个基础解系为 \(\alpha\) ，则有 \(A\alpha\) =0
• n-r(A)个基础解析之间线性无关
  • 若\(\alpha+\beta\)=0，则\(\alpha\beta\)相关；\(\alpha，\beta\)不能同时是基础解系

线性表出

向量：\(\alpha _{1}，\alpha _{2}，...，\alpha _{n}\)
向量：\(\beta\)
设\(A=(\alpha _{1}，\alpha _{2}，...，\alpha _{n})\)
\(Ax=(\alpha _{1}x_{1}，\alpha _{2}x_{2}，...，\alpha _{n}x_{n})\)
则有：

\(\beta可由\alpha _{1}，\alpha _{2}，...，\alpha _{n}线性表出\Leftrightarrow Ax=\beta 有解\Leftrightarrow R(A)=R(A\vdots \beta)\)
\(\beta可由唯一一组\alpha _{1}，\alpha _{2}，...，\alpha _{n}线性表出\Leftrightarrow Ax=\beta 有唯一解\Leftrightarrow R(A)=R(A\vdots \beta)\)
\(\beta不能由\alpha _{1}，\alpha _{2}，...，\alpha _{n}线性表出\Leftrightarrow Ax=\beta 无解\Leftrightarrow R(A)<R(A\vdots \beta)\)

线性相关性

\(\alpha _{1}，\alpha _{2}，...，\alpha _{n}相关\Leftrightarrow Ax=0有非零解\Leftrightarrow R(A)<n\)
\(\alpha _{1}，\alpha _{2}，...，\alpha _{n}无关\Leftrightarrow Ax=0只有零解\Leftrightarrow R(A)=n\)
\(\alpha _{1}，\alpha _{2}线性相关\Leftrightarrow \alpha _{1}，\alpha _{2}共线\)
\(\alpha _{1}，\alpha _{2}线性无关\Leftrightarrow \alpha _{1}，\alpha _{2}不共线\)
\(\alpha _{1}，\alpha _{2}，\alpha _{3}线性相关\Leftrightarrow \alpha _{1}，\alpha _{2}，\alpha _{3}共面\)

\(\alpha _{1}，\alpha _{2}，\alpha _{3}共面\)：

• \(\alpha _{1}\)和\(\alpha _{2}\)或\(\alpha _{3}\)共线。
• \(\alpha _{1}\)和\(k_{1}\alpha _{2}+k_{2}\alpha _{3}\)共线（\(k_{1}、k_{2}为常数\)）。

\(\alpha _{1}，\alpha _{2}，\alpha _{3}线性无关\Leftrightarrow \alpha _{1}，\alpha _{2}，\alpha _{3}异面\)

线性子空间

线性子空间（又称向量子空间，简称子空间）是线性空间中部分向量组成的线性空间。设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间。

二维空间的子空间：

• 1、二维空间\(R^{2}\)本身
• 2、过原点的直线L
• 3、原点

三维空间的子空间：

• 1、三维空间\(R^{3}\)本身
• 2、过原点的平面P
• 3、过原点的直线L
• 4、原点

方程组的解

齐次线性方程组：Ax=0
Ax=0，零空间，对象是x。Ax=0的解构成子空间。
非齐次线性方程组：Ax=b
Ax=b，列空间，对象是b。Ax=b的解不构成子空间。

Ax=0或Ax=b的解的个数：

A为m×n的矩阵
R为行最简阶梯型矩阵
F表示自由列
矩阵的秩r决定了方程组的解的个数
方程组无解：\(r(A)<r(A\vdots B)\)

基础解系：特解向量（1个）+零解向量（n-r）个，共有n-r个。
特解\(x_{p}\)：自由向量为0的特解。

如何解Ax=0

Ax=0
A先消元，确定主列和自由列。
对x中对应的自由变量分配数值。
找出x中对应的主变量的值，得解。

特解：给自由变量分配特定值，找出主列对应值，得到的x解。
似乎是一个自由变量（自由列）对应一个解。
如果r(A)=2，即A的秩为2，即A消元后的主列的个数为2。
n为A的列数，假如为4。
n-r(A)=2，即A消元后的自由列的个数为2，即Ax=0的特解的个数为2。