学习笔记：AC 自动机
AC 自动机
引入
AC 自动机，顾名思义就是（能够帮你自动切题的机器）一种可以很方便地进行多模式串匹配的东西。
前置知识
实现
AC 自动机是以Trie 树的结构为基础，结合KMP的思想建立的。
简单来说，建立 AC 自动机主要有两个步骤：
- Trie 树的结构基础：将所有待匹配的模式串构造成一棵 Trie 树。
- KMP 的思想：对 Trie 树上的所有节点构造失配指针。
字典树构建
AC 自动机在初始时会将若干个模式串丢到一个 Trie 里，然后在 Trie 上建立 AC 自动机。这个 Trie 就是普通的 Trie，该怎么建怎么建。
这里需要仔细解释一下 Trie 的结点的含义，尽管这很小儿科，但在之后的理解中极其重要。Trie 中的结点表示的是某个模式串的前缀。我们在后文也将其称作状态。一个结点表示一个状态，Trie 的边就是状态的转移。
形式化地说，对于若干个模式串 $s_1,s_2\dots s_n$，将它们构建一棵字典树后的所有状态的集合记作 $Q$。
失配指针
AC 自动机利用一个 fail 指针来辅助多模式串的匹配。
状态 $u$ 的 fail 指针指向另一个状态 $v$，其中 $v\in Q$，且 $v$ 是 $u$ 的最长后缀（即在若干个后缀状态中取最长的一个作为 fail 指针）。对于学过 KMP 的朋友，我在这里简单对比一下这里的 fail 指针与 KMP 中的 next 指针：
- 共同点：两者同样是在失配的时候用于跳转的指针。
- 不同点：next 指针求的是最长 Border（即最长的相同前后缀），而 fail 指针指向所有模式串的前缀中匹配当前状态的最长后缀。
因为 KMP 只对一个模式串做匹配，而 AC 自动机要对多个模式串做匹配。有可能 fail 指针指向的结点对应着另一个模式串，两者前缀不同。
没看懂上面的对比不要急，你只需要知道，AC 自动机的失配指针指向当前状态的最长后缀状态即可。
AC 自动机在做匹配时，同一位上可匹配多个模式串。
构建指针
下面介绍构建 fail 指针的 基础思想：
构建 fail 指针，可以参考 KMP 中构造 Next 指针的思想。
考虑字典树中当前的结点 $u$，$u$ 的父结点是 $p$，$p$ 通过字符 c 的边指向 $u$，即 $trie[p,\mathtt{c}]=u$。假设深度小于 $u$ 的所有结点的 fail 指针都已求得。
- 如果 $\text{trie}[\text{fail}[p],\mathtt{c}]$ 存在：则让 u 的 fail 指针指向 $\text{trie}[\text{fail}[p],\mathtt{c}]$。相当于在 $p$ 和 $\text{fail}[p]$ 后面加一个字符
c，分别对应 $u$ 和 $fail[u]$。 - 如果 $\text{trie}[\text{fail}[p],\mathtt{c}]$ 不存在：那么我们继续找到 $\text{trie}[\text{fail}[\text{fail}[p]],\mathtt{c}]$。重复 1 的判断过程，一直跳 fail 指针直到根结点。
- 如果真的没有，就让 fail 指针指向根结点。
如此即完成了 $\text{fail}[u]$ 的构建。
一些例题
#include <iostream>
#include <queue>
#define MAXN 1000005
using namespace std;
int n;
char s[MAXN];
int trie[MAXN][26];
int tag[MAXN], fail[MAXN];
int tot = 1, root, ch;
int ans;
queue <int> q;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin >> s + 1;root = 0;
for(int j = 1 ; s[j] != 0 ; j ++){
ch = s[j] - 'a';
if(trie[root][ch] == 0)
trie[root][ch] = ++tot;
root = trie[root][ch];
}
tag[root]++;
}
for(int i = 0 ; i < 26 ; i ++)
if(trie[0][i] != 0)
q.push(trie[0][i]);
while(!q.empty()){
root = q.front();q.pop();
for(int i = 0 ; i < 26 ; i ++){
if(trie[root][i] != 0){
fail[trie[root][i]] = trie[fail[root]][i];
q.push(trie[root][i]);
}else trie[root][i] = trie[fail[root]][i];
}
}
cin >> s + 1;root = 0;
for(int i = 1 ; s[i] != 0 ; i ++){
ch = s[i] - 'a';
root = trie[root][ch];
for(int j = root ; j != 0 && tag[j] != -1 ; j = fail[j])
ans += tag[j],tag[j] = -1;
}
cout << ans << endl;return 0;
}#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#define MAXN 155
#define MAXL 1000005
using namespace std;
int n, tot, root, ch, ans;
char s[MAXL][MAXN], t[MAXL];
int trie[MAXL][26], fail[MAXL];
int idx[MAXL], cnt[MAXL], val[MAXL];
queue <int> q;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
while(true){
cin >> n;
if(n == 0)break;
memset(trie, 0, sizeof(trie));
memset(fail, 0, sizeof(fail));
memset(idx, 0, sizeof(idx));
memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
memset(val, 0, sizeof(val));
tot = 0;ans = 0;
while(!q.empty())q.pop();
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin >> s[i] + 1;root = 0;
for(int j = 1 ; s[i][j] != 0 ; j ++){
ch = s[i][j] - 'a';
if(trie[root][ch] == 0)
trie[root][ch] = ++tot;
root = trie[root][ch];
}
idx[root] = i;
}
for(int i = 0 ; i < 26 ; i ++)
if(trie[0][i] != 0)
q.push(trie[0][i]);
while(!q.empty()){
root = q.front();q.pop();
for(int i = 0 ; i < 26 ; i ++){
if(trie[root][i] != 0){
fail[trie[root][i]] = trie[fail[root]][i];
q.push(trie[root][i]);
}
else trie[root][i] = trie[fail[root]][i];
}
}
cin >> t + 1;root = 0;
for(int i = 1 ; t[i] != 0 ; i ++){
ch = t[i] - 'a';root = trie[root][ch];
for(int j = root ; j != 0; j = fail[j])val[j]++;
}
for(int i = 0 ; i <= tot ; i ++)
if(idx[i] != 0){
ans = max(ans, val[i]);
cnt[idx[i]] = val[i];
}
cout << ans << endl;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
if(cnt[i] == ans)
cout << s[i] + 1 << endl;
}
return 0;
}#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
#define MAXN 2000005
using namespace std;
int n, tot = 1, root, ch, len, tmp;
char s[MAXN], t[MAXN];
int trie[MAXN][26], fail[MAXN], flag[MAXN], ans[MAXN];
int vis[MAXN + 50], rd[MAXN], cnt[MAXN];
queue <int> q;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
cin >> s + 1;root = 1;
len = strlen(s + 1);
for(int i = 1 ; i <= len ; i ++){
ch = s[i] - 'a';
if(trie[root][ch] == 0)
trie[root][ch] = ++tot;
root = trie[root][ch];
}
if(flag[root] == 0)
flag[root] = i;
cnt[i] = flag[root];
}
for(int i = 0 ; i < 26 ; i ++)
trie[0][i] = 1;
q.push(1);
while(!q.empty()){
root = q.front();q.pop();
tmp = fail[root];
for(int i = 0 ; i < 26 ; i ++){
ch = trie[root][i];
if(ch == 0){
trie[root][i] = trie[tmp][i];
continue;
}
fail[ch] = trie[tmp][i];
rd[fail[ch]]++;
q.push(ch);
}
}
cin >> t + 1;root = 1;
len = strlen(t + 1);
for(int i = 1 ; i <= len ; i ++){
ch = t[i] - 'a';
root = trie[root][ch];
ans[root]++;
}
for(int i = 1 ; i <= tot ; i ++)
if(rd[i] == 0)
q.push(i);
while(!q.empty()){
root = q.front();q.pop();
vis[flag[root]] = ans[root];
ch = fail[root];
rd[ch]--;
ans[ch] += ans[root];
if(rd[ch] == 0)
q.push(ch);
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
cout << vis[cnt[i]] << endl;
return 0;
}
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