扩展欧几里得方程的应用---求解不定方程（青蛙的约会）

题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入输出格式

输入格式：

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L

其中0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000。

输出格式：

输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"。

输入输出样例

输入样例#1： 

1 2 3 4 5

输出样例#1： 

4
题意很好理解，可以把这个链看作一个环。然后我们可以发现如果设两个青蛙都跳了t步，A的坐标是x+mt，B的坐标是y+nt；那么两个青蛙相遇的前提条件就是满足x+mt-y-nt=PL；
稍微分解可以化为（n-m）t+LP=x-y；g
设n-m为A1 x-y=B1；
问题转化为求这个不定方程的一组解。那么我们先对这个函数用扩展欧几里得求解，可以得到一个解x，但是此时这个解不等于最终解，因为无法保证x-y和gcd（n-m，L）的关系。
接下来如果（x-y）%gcd（n-m，L）==0就说明其为gcd的倍数，那么我们可以让之前的到的解扩大（x-y）/gcd（n-m，L）的倍数即可。还需要注意的是在得到答案前要对
L/gcd（。。）取模因为这个链上只有这么多个位置可能出现青蛙交会，如果更大由于通解里可以加减任意倍的这个距离。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int Extended_GCD(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
    {
        if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }

long long gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);
    y-=x*(a/b);
    return gcd;
    }
int main(){
    long long x,y,m,n,l;
    cin>>x>>y>>m>>n>>l;
    long long t,p;
    long long a=x-y,b=n-m;
    if(b<0) 
    {
        b=-b;//如果是负数，gcd没有意义，所以需要先全部乘一个负数
        a=-a;
    }
    int gcd=Extended_GCD(b,l,t,p);
    if(a%gcd||m==n)
        cout<<"Impossible"<<endl;
    else
        cout<<((t*a/gcd)%(l/gcd)+(l/gcd))%(l/gcd)<<endl;
    return 0;

 

代码还有一种写法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

long long Gcd(long long a,long long b){
    return b==0?a:Gcd(b,a%b);
}

void exGcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
    if(b==0){
        x=1; y=0;
        return ;
    }
    exGcd(b,a%b,x,y);
    long long tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
}

int main(){

    //freopen("input.txt","r",stdin);

    long long x,y,m,n,L;
    long long a,c,k1,k2,r;
    while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&L)){
        a=n-m; c=x-y;
        r=Gcd(a,L);
        if(c%r){
            puts("Impossible");
            continue;
        }
        a/=r; L/=r; c/=r;
        exGcd(a,L,k1,k2);
        long long ans=c*k1-c*k1/L*L;
        if(ans<0)
            ans+=L;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}

其写法差距不大，只有一些细节上的区别，需要思考理解在本题中L被除后的意义，和该不定方程如何再能转化为通解，二种方法都可以解决问题，大家自行借鉴学习即可。